Ішкі кеңістіктер

n 1. Ішкі кең істіктің анық тамасы, критериі, мысалдары

Айталық, V = V, +, F – векторлық кең істік, W V болсын.

Анық тама. Егер F ө рісінде берілген V векторлық кең істігінің қ ұ р емес ішкі жиыны W векторлық кең істіктің операцияларынан индуциирленген операциялар арқ ылы ө зі векторлық кең істік қ ұ раса, онда оны ішкі кең істік деп атайды. Белгілеуі ; W = W, + , F V.

Теорема (ішкі кең істіктің критериі). Векторлық кең істіктің қ ұ р емес ішкі жиыны W ішкі кең істік болуы ү шін оның векторлық кең істіктің операциялары арқ ылы тұ йық болуы қ ажет жә не жеткілікті, яғ ни W V а) а, b W a + b W б) а W F a W

Дә лелдеу. Қ ажеттігі. Индуциирленген амалдың анық тамасынан а), б) шарт – тары автоматты тү рде шығ ады.

Жеткіліктігі. W ішкі жиыны а), б) шарттарын қ анағ аттандырса, яғ ни тұ йық болса, оның ө зі векторлық кең істік болатынын дә лелдеу ү шін анық тамадағ ы I–VIII аксиомалардың орындалатынын тексеру керек. I, II, V-VIII аксиомалар универсал аксиомалар болғ андық тан, олардың орындалатыны тү сінікті. III, IV аксиомаларды ғ ана тексерсе болғ аны (студенттердің ө здеріне).

Мысалдар.

1). Кезкелген векторлық кең істіктің екі қ арапайым ішкі кең істігі (тривиальные подпространства) ә руақ ытта белгілі. Олар V - ң ө зі жә не 0 .

2). F – n ө лшемді арифметикалық векторлық кең істіктің, мысалы,

W = < 0, , …, > i F тү ріндегі ішкі жиыны ішкі кең істік болады (а), б) шарттарын тексеріп кө рің із).

Жеке жағ дайы, R кең істігін алайық. W ішкі жиыны ретінде n айнымалылы біртекті сызық тық тең деулер жү йесінің шешулерінің жиынын алайық. Біртекті СТЖ –ң кезкелген екі шешуінің қ осындысы да, кезкелген шешудің нақ ты санғ а кө бейтіндісі де сол жү йенің шешуі болатындығ ынан бұ л жиынның ішкі кең істік болатыны шығ ады.

Осы мысалдың тағ ы бір жеке жағ дайын, ә деттегі ү ш ө лшемді R кең істігін алайық. W – координаталар бас нү ктесі арқ ылы ө тетін жазық тық тың немесе тү зудің бойында жататын векторлар (бағ ытталғ ан кесінділер) жиыны болсын. Онда W ішкі жиыны қ осу жә не нақ ты санғ а кө бейту арқ ылы тұ йық болатыны тү сінікті. Онда ол R кең істігінің ішкі кең істігі. Ол сә йкес, R немесе R .

3). Мектептен белгілі, жазық тық тағ ы бір О нү ктесінен шығ атын бағ ытталғ ан кесінділер кең істігі берілсін (§1, 2 мысал). W – сол О нү ктесі арқ ылы ө тетін l тү зуі болса, онда ол ішкі кең істік болады. (Неге?)

4) М (R), +, R – n –ші ретті квадрат матрицалар кең істігінің ішкі жиыны W – ү шбұ рышты матрицалар жиыны Т (R) болсын. Ол да ішкі кең істік болады. (Қ алайша?)

Ескерту. Жалпы, векторлық кең істіктің ішкі кең істігін табу мә селесі оң ай шаруа емес.

n 2. Векторлар жү йесінің сызық тық қ абық шасы (линейная оболочка системы векторов)

V = V, +, F – F ө рісінде берілген векторлық кең істік, ал а , а ,..., а V (1) векторлар жү йесі болсын.

Анық тама. b = а + а +... + а векторы ( F) (1) жү йенің сызық тық комбинациясы деп аталады. Кейде, b векторы (1) жү йе арқ ылы сызық тық ө рнектеледі деп те айтады.

Анық тама. (1) векторлар жү йесінің сызық тық комбинациясы болатын векторлар жиыны сол (1) жү йенің сызық тық қ абық шасы деп аталады. Белгілеуі L(а , а ,..., а ).Сонда L(а , а ,..., а ) = х х = а + а +... + а & F .

Лемма. Векторлар жү йесінің сызық тық қ абық шасы векторлық кең істіктің ішкі кең істігі болады.

Дә лелдеу. Ішкі кең істіктің критериі бойынша, а), б) шарттарын тексереді.

(студенттердің ө здеріне).

Анық тама. L(а , а ,..., а ) ішкі кең істігін а , а ,..., а векторлар жү йесіне тұ рғ ызылғ ан ішкі кең істік деп атайды; ал а , а ,..., а векторларының ө зін осы ішкі кең істіктің жасаушы элементтері дейді.

Сұ рақ. а , а ,..., а векторларының ә рқ айсысы L(а , а ,..., а ) ішкі кең істігіне тиісті ме? Жауабың ызды дә лелдең із.

Ескерту. Сонда, векторлық кең істіктің ішкі кең істігін табу ү шін, оның қ андайда бір векторларын алып, солардың сызық тық комбинацияларының жиынын алса болғ аны.

n 3. Ішкі кең істіктерге амалдар қ олдану

V – F ө рісінде берілген векторлық кең істік, W , W –ішкі кең істіктері болсын.

Анық тама. W , W ішкі кең істіктердің қ имасы деп W W = х V х W & х W жиынын айтады.

Лемма. W W жиыны ішкі кең істік болады. (Дә лелдеу ө збетімен).

Тұ жырымдалғ ан лемма ішкі кең істіктердің кезкелген жиыны ү шін де дұ рыс, яғ ни i IW –ішкі кең істік (i I) W –ішкі кең істік.

Анық тама. W , W ішкі кең істіктердің қ осындысы деп W + W = х V х = а + а & а W , а W жиынын айтады.

Лемма. W + W жиыны ішкі кең істік болады. (Дә лелдеу ө збетімен).

Тұ жырымдалғ ан лемма ішкі кең істіктердің кезкелген шекті саны ү шін де дұ рыс, яғ ни i =1, 2, …, n W –ішкі кең істік –ішкі кең істік.

Қ осындының қ асиеттері.

1 .W + W = W + W

2 (W +W )+W =W +(W +W )

3 .W W & W W W W

4 .W W & W V W + W = W

5 W + W ішкі кең істігі қ ұ рамына W мен W –ң ә рқ айсысын сақ тайтын ең кіші ішкі кең істік болады.

Мысалдар.

1). Мектептен белгілі, жазық тық тағ ы бір О нү ктесінен шығ атын бағ ытталғ ан

кесінділер кең істігінде (§1, 2 мысал) W , W – О нү ктесі арқ ылы ө тетін екі тү зу болсын (қ ара, n 1, 3) мысал). Онда W + W = V.

2). V = R – ү ш ө лшемді кең істікте (қ ара, n 1, 2) мысал)

а) W – координаталар бас нү ктесі арқ ылы ө тетін тү зу, W – координаталар бас нү ктесі арқ ылы ө тетін басқ а тү зу болсын. Бұ л жағ дайда W + W – бір жазық тық ты береді, ол V – ғ а тең емес.

б) W – координаталар бас нү ктесі арқ ылы ө тетін тү зу, W – координаталар бас нү ктесі арқ ылы ө тетін жазық тық болсын. Бұ л жағ дайда W + W = V.

3). V = М (R) – 2-ші ретті квадрат матрицалар кең істігінде

W – тү ріндегі, W – тү ріндегі матрицалар жиындары болсын.

Олар ішкі кең істіктер болатынын білеміз. Бұ л жағ дайда W + W қ осындысы

тү ріндегі ү шбұ рышты матрицалар ішкі кең істігі болып шығ ады. Сонда бұ л жағ дайда W + W V.

Анық тама. ЕгерW +W қ осындысының элементтерінің х = а + а (а W , а W ) тү ріндегі ө рнектелуі бірмә нді болса, онда W + W қ осындысын тура қ осынды деп атайды жә не W W деп белгілейді. Сонда, W W болуы ү шін, х W + W векторы ү шін х = а + а & х = b + b а = b & а = b (а , b W , а , b W ).

Лемма. Екі ішкі кең істіктің қ осындысы тура қ осынды болуы ү шін, олардың қ имасы жалғ ыз ғ ана нольдік вектордан тұ руы қ ажет жә не жеткілікті. W W W W = 0 .

Дә лелдеу студенттердің ө здеріне. Нұ сқ ау: қ ажеттігі де, жеткіліктігі де кері жору арқ ылы дә лелденеді.

Алдың ғ ы мысалдардан, 1) мысалдағ ы қ осынды тура, 3) мысалдағ ы қ осынды тура емес.