N 1. Сызықтық кеңістіктің анықтамасы

Сызық тық кең істіктер

Айталық, V – кезкелген қ ұ р емес жиын, ал F – ө ріс болсын. Ө рістің элементтерін грек алфавитінің, ал V жиынының элементтерін латын алфавитінің кіші ә ріптерімен белгілейміз. F ө рісін – скалярлар ө рісі дейміз.

V жиынында абстракты тү рде «қ осу» деп аталатын бір БАО жә не «скалярғ а кө бейту» деп аталатын бірнеше сыртқ ы операция берілсін. Нә тижесінде V, +, F алгебрасын аламыз. Оны V деп белгілейміз.

(Ескерту. Ә детте ә ріптердің арасына кө бейту таң басын қ оймайды!)

Анық тама. Егер V = V, +, F алгебрасының операциялары тө мендегі аксиомаларғ а бағ ынса, онда ол алгебраны F ө рісінде берілген сызық тық кең істік деп атайды:

I а, b V a + b = b + a

II а, b, c V (a + b) + c = a + (b + c)

III e V а V a + e = a (e –нольдік элемент, оны 0 деп белгілейді)

IV а V x V a + x = e (x – a- ғ а қ арама-қ арсы эл., оны – a деп белг.)

V а V , F () a = ( a) = ( a)

VI а V , F ( + ) a = a + a

VII а, b V F (a + b) = a + b

VIII а V 1a = a (1 – F ө рісінің бірі) (унитарлық аксиомасы)

I – IV аксиомалардан V жиыны + -ғ а қ атысты абельдік группа болатыны шығ ады, яғ ни V, + – абельдік группа. Ол сызық тық кең істіктің аддитивті группасы деп аталады.

Сызық тық кең істік ұ ғ ымы ө те кең ұ ғ ым жә не математиканың барлық салаларында маң ызды роль атқ арады. Формальды тү рде сызық тық кең істікті векторлық кең істік деп, ал оның элементтерін векторлар деп атайды.

Егер F ө рісі ретінде R – нақ ты сандар ө рісі алынса, онда сызық тық кең істікті «нақ ты кең істік» деп, ал F = C болса, онда – «комплекс кең істік» деп атайды.