N 2. Векторлық кеңістіктің қарапайым қасиеттері

1 . V, + – абельдік группа болғ андық тан аддитивті группаның барлық қ асиеттері векторлық кең істікте орындалады. Олар: 0 вектор біреу, – a векторы біреу, қ осудың қ ысқ арту заң ы ( а, b, c V (a + b = a + c b=c)), ассоциативтік қ асиеттің жалпыламасы, азайту амалы. Кез келген а, b V ү шін – b Vболғ андық тан а + (– b) V (себ. + - БАО). Осы а + (– b) элементін а – b деп белгілеп, а мен b элементтерінің айырмасы деп атайды. Онда а, b V элементтеріне а – b элементін сә йкестікке қ оятын амалды азайту амалы деп атайды.

2 . а, b V (a + b = a b= 0). Шынында да, a + b = a болғ асын, III аксиомадан a + 0 = a болғ андық тан, a + b = a + 0, онда қ осудың қ ысқ арту заң ы бойынша, b= 0.

3 . а V 0a = 0. (мұ ндағ ы 0 – F ө рісінің нолі)

Шынында да, 0a = (1-1) a ( VI )= 1a - 1a ( VIII )= a – a = 0.

4 . F 0 = 0

0 + 0 ( VII )= (0 + 0) ( III )= 0 (2 ) 0 = 0.

5 . а, b V (a + b = 0 b= – a = (-1) a).

a + b = 0 болса, екінші жағ ынан IV аксиомадан a +(- a) = 0 екенінен a + b = a +(-a) болады, онда + -ң қ ысқ. заң. b= – a немесе b =(-1) a.

6 . а, b V F ( a = b & 0 a = b).

Берілгенінен, ( a) = ( b) ( V ) ( ) a = ( ) b ( VIII ) 1a =1b a=b.

7 . а V F ( a = 0 = 0 a = 0). Шынында да, a = 0 болса, скаляры ү шін екі жағ дай болуы мү мкін: = 0 0a = 0 (3 қ асиеттен); 0 4 бой. 0 = 0, онда жоғ арыдағ ымен екеуінен, a = 0 a= 0 (6 қ асиеттен).

8 . а V , F ( a = a & a 0 = ). Берілгенінің екі жағ ына да (– a) векторын қ осамыз: a +(– a) = a + (– a) ( – ) a = 0 (a 0 болғ андық тан, 7 бой.) – = 0 = .

n 3. Векторлық кең істіктің мысалдары

1. F – кезкелген ө ріс болсын. V жиыны ретінде F F ... F жиынын алайық: V = F F ... F = < , , …, > i F = F – F ө рісінің элементтерінен қ ұ ралғ ан, ұ зындығ ы n –ғ а тең кортеждер жиыны. Бұ л жиында кортеждерді қ осу, кортежді скалярына ( F) кө бейту амалдарының қ алай анық талатыны алгебра курсынан белгілі:

< , , …, > +< , , …, > =< + , + , …, + > < , , …, > =< , , …, >. Сонда F , +, F алгебрасын аламыз. Бұ л алгебрада векторлық кең істіктің анық тамасындағ ы I – VIII аксиомалардың орындалатынын тексеру оң ай. Онда бұ л алгебра векторлық кең істік қ ұ райды. Оның нольдік векторы < 0, 0,..., 0 > кортежі, ал a = < , , …, > векторына қ арама – қ арсы вектор – a = < - , - , …, - > кортежі болады. Сонымен, F , +, F алгебрасы F ө рісінде берілген векторлық кең істік.

Оны n ө лшемді арифметикалық векторлық кең істік деп атайды.

Жеке жағ дайлары: F = Q, R, C болғ анда Q , R , C кең істіктері шығ ады. F = R, n = 2 болғ анда R – жазық тық, ал F = R, n = 3 болғ анда R – ә деттегі ү ш ө лшемді кең істік болады.

2. V жиыны ретінде жазық тық тағ ы бір О нү ктесінен шығ атын бағ ытталғ ан кесінділер жиынын алайық. Бағ ытталғ ан кесінділерді параллелограмм ережесі бойынша қ осуғ а, нақ ты санғ а кө бейтуге (ол – кесіндіні ұ зарту не қ ысқ арту) болады. Онда бұ л екі амал анық тамадағ ы I–VIII аксиомаларғ а бағ ынатыны тү сінікті. Олай болса, бағ ытталғ ан кесінділер жиыны V, нақ ты сандар ө рісінде берілген векторлық кең істік қ ұ райды.

Ескерту. Мектепте осы мысал вектор ұ ғ ымын енгізудің негізі болады.

3. V = М (R) – n –ші ретті квадрат матрицалар жиыны болсын. Матрицаларды қ осу, матрицаны нақ ты санғ а кө бейту амалдары I – VIII аксиомаларғ а бағ ынатынын алгебра курсынан білеміз. Онда бұ л алгебра да векторлық кең істік болады: М (R), +, R – R– да берілген векторлық кең істік. Оның нольдік векторы нольдік матрица, ал a = ( ) векторына (матрицасына) қ арама – қ арсы вектор – a = (- ) қ арама – қ арсы матрицасы болады.

Жеке жағ дайы, n = 2 болса 2-ші ретті квадрат матрицалардың нақ ты кең істігі, n = 3 болса 3-ші ретті квадрат матрицалардың нақ ты кең істігі болады.

4. V = C – комплекс сандар жиыны болсын. Ә деттегі, комплекс сандарды қ осу, комплекс санды нақ ты санғ а кө бейту амалдары анық тамадағ ы I–VIII аксиомаларғ а бағ ынатынын оң ай тексере аламыз. Олай болса, комплекс сандар алгебрасы C, +, R – нақ ты сандар ө рісінде берілген векторлық кең істік болады.

5. V – мү шелері нақ ты сандар болатын тізбектер жиыны болсын: V = R . Тізбектерді мү шелеп қ осатынын, тізбекті нақ ты санғ а кө бейту ү шін оның мү шелерін сол санғ а кө бейтетінін білеміз. Бұ л амалдар жоғ арыдағ ы анық тамадағ ы I – VIII аксиомаларғ а бағ ынады. Онда бұ л жиын да осы амалдар арқ ылы векторлық кең істік қ ұ райды. R , +, R – R– да берілген векторлық кең істік.

6. V – а, b кесіндісінде анық талғ ан ү здіксіз функциялар жиыны болсын: V = f f – ү здіксіз & D(f) = а, b = С . Ү здіксіз функцияларды қ осу нү ктелік қ осу, ал ү здіксіз функцияны нақ ты санғ а кө бейту оның ә рбір нү ктедегі мә нін сол санғ а кө бейту болады. Бұ лай анық талғ ан амалдар да I–VIII аксиомаларғ а бағ ынатынын тексеру оң ай. Онда бұ л алгебра да нақ ты сандар ө рісінде (яғ ни, R– да) берілген векторлық кең істік болады: С , +, R – R– да берілген векторлық кең істік.