Приведение произвольной системы сил к простейшему виду. Условия равновесия произвольной системы сил

Статика – раздел механики, который изучает равновесие механических систем или тел под действием сил. Величина, являющаяся мерой механического взаимодействия материальных тел называется силой.

Основная лемма. Всякая сила, приложенная к абсолютно твёрдому телу, в данной точек А, эквивалентна той же силе, приложенной в точке В, и паре, момент которой, равен моменту силы приложенной в точке А относительно точки В.

Пусть есть произвольная система сил действующая на абсолютно твёрдое тело, расположенная как угодно в пространстве. Выберем произвольный центр О и перенесем все силы системы в этот центр. От пересечения каждой силы, мы получим силу и пару, момент которой равен моменту переносимой силы относительно выбранного центра О. Складывая все силы в центре О, получим одну результирующую силу .

(1) Складывая моменты вех пар, получим векторный момент результирующей пары: (2) Величина , равная векторной сумме всех cил системы (1) называется главным вектором системы, а величина , равная сумме моментов вех сил системы относительно центра О (2) называется главным моментом относительно центра О. Таким образом, любую пространственную систему сил, приведенную к центру О, заменим на приложенную в этом центре результирующей силой, равной главному вектору системы и результирующей парой, момент которой равен главному моменту системы относительно центра приведения.

При изменении центра приведения главный вектор останется без изменений, поэтому он сам представляет собой 1-й инвариант пространственной системы сил по отношению к изменению центра приведения, т.е. .

=> => => ‑ 2-ым инвариантом системы будет скалярное произведение , т.е проекция вектора момента на направление главного вектора постоянна и не зависит от центра приведения. Векторы и называются элементами приведения системы.

1) Приведем полученную систему к винту. Винт ‑ совокупность силы и пары, вектор момента которой коллинеарен силе (), или же совокупность силы и пары сил, лежащие в ортогональных плоскостях.

Разложим исходный вектор момента на две составляющие и . Выберем точку приведения так, чтобы возникающий момент уравновешивал . Т.е мы можем нашу систему привести к винту, зная уравнение винтовой оси.

Т. к. , используя , получаем .

2) , в этом случае система сил приводится к одному результирующему вектору, который в таком случае называется равнодействующим . Если , то равно действующая будет проходить через центр О.

Эти условия являются необходимыми и достаточными, чтобы система имела равнодействующую.

3) , главный вектор системы не зависит от выбора центра приведения. Система приводится к паре сил с , где О – произвольный центр.

4) ‑ система сил находится в равновесии. Последние условие даёт необходимое и достаточное условие равновесия произвольной системы сил:

(3)

Если спроектировать (3) на оси коорд-т, то для пространственной сис-мы сил получ 6 – уравнений

, ,

а для плоской ‑ 3 уравнения:

ТЕОРЕМА 3-х моментов. Для равновесия плоской системы сил сумма моментов относительно 3-х точек, не лежащих на одной прямой, равнялась 0.

Очевидно, т. к. момент относительно любой точки = 0.

ТЕОРЕМА. Для равновесия плоской системы сил сумма моментов относительно 2-х произвольных точек и сумма проекций всех сил на произвольную ось, не перпендикулярно к прямой, соединяющей эти точки = 0.

Систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке будем называть сходящейся.

ТЕОРЕМА. Если система сил сходящаяся, тогда пространственная система имеет 3 уравнения равновесия, а плоская – 2 уравнения.