Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сеч-я перемещ-ся поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси.

Между прогибами y(x) и углами поворота сечений θ (x) существует определенная зависимость. Из рис. видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии (θ и φ - углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y^/=tgθ. Следовательно, tgθ = tgφ = y^/.
Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M_z и жесткости EI_z:

. (1)

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

. (2)

Приравнивая правые части (1) и (2) и учитывая, что правила знаков для M_z и y ^// были приняты независимо друг от друга, получаем

. (3)

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии. При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ = 0.1 рад (y ^/ )²=0.01) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

. (4)

Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y, так как от этого направления зависит знак второй производной y ^//. Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y ^// и M_z совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y ^// и M_z противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Заметим, что уравнение (4) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M_z содержит одну из главных осей инерции сечения.

Интегрируя (4), находим сначала углы поворота сечений

,

(5)

а после второго интегрирования – прогибы балки

.

(6)

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.