Элементы теории поля. Поток, дивергенция, ротор вектора. Теорема Гаусса-Остроградского. Теорема Стокса

Дана обл-ть ().

Будем говорить, что в обл задано скалярное поле, если т ставится в соотв по известному закону число . Если т ставится в соотв по известномузакону некот в-р если , то гов-ят, что в обл задано векторное поле.

Задание векторного поля заданию ф-ции , а задание скалаярного поля

Поле наз диф-мым, если ф-ции и диф в обл . диф скал поле. Тогда в-р наз градиентом скалярного поля в т . Обозн

В данном случае скалярное поле порожд векторное поле градиента - вектор, кот по напр-ю и своему значению характеризует скорость возрастания ф-ции .

, где - оператор Гамильтона.

Опр. поле - диф векторное поле, тогда вектор наз ротором векторного поля и обозн

Если рассм как поле скоростей при движении тв тел, то с точностью до множителя ротор этого поля дает угловую скорость.

Опр. поле - диф векторное поле, тогда величина наз дивиргенцией вект поле в т и обозн .

При движении несжим жидк при наличии источников (или стоков) дивергенция хар-ет плотность источника (стока). диф вект поле порождает вект поле его ротора и скалярное поле его дивергенции.

;

Св-ва.

1)

2) ( - оп-р Лапласа)

3)

Опр. Этот инт-л наз потоком в-ра ч/з пов-ть в указ направлении.

Теорема Стокса.

Рассм вект поле некоторой кривой . - проекция в-ра на ед в-р касательной

Опр. лин интл в поле вдоль . Если замкнута, то инт-л назыв циркуляцией вдоль .

, . .

Если в-р - в-р силы, то этот лие интеграл предст собой работу сил поля вдоль кривой .

Теорема Стокса.

Циркуляция в-ра вдоль кривой равно потоку ротора в-ра ч/з пов-ть , натянутую на эту кривую