Билет 10. 1. Непрерывность ф-й одной и нескольких переменных

1. Непрерывность ф-й одной и нескольких переменных. Равномерная непрер-ть. Теорема Кантора

Опр: Ф-я f наз непрерывной в т а : 1)
2) f определена в т. А
3) равенство между пределом и значением ф-и в данной т.
Опр: f непрер. в т. а



f непрер. в т. а справа , т.е.
f непрер. в т. а слева , т.е.
Теорема: Для того, чтобы ф-я f была непрер. в т. а • чтобы она была одновременно непрер. справа и слева. f – непрер., если т. а – изолированная, если в ее окр-ти нет точек мн-ва, т.е. , кот. не имеет др. точек мн-ва X, кроме т. а.

Классификация точек разрыва:

1) т. устранимого разрыва хар-ся тем, что

2) т. разрыва 1 рода:

3) т. разрыва 2 рода: хотя бы 1 из односторонних пределов не $ или =¥.

Опр. Ф-я наз. равномерно непрер. на мн-ве X, если

Теорема Кантора. Непрерывная на промежутке ф-я явл. равномерно непрер. на этом промежутке.

наз. базой - с-ма открытых мн-в {Ġ (х₀)}, где Ġ (х₀)=ů (х₀) ∩ Х

Опр. наз. равномерно непрер. на Х, если

Теорема Кантора. Непрер. на замкн. огр. мн-ве ф-я f равном. непрер. на этом мн-ве.

наз. непрер. в т. , если

Теорема. Для того, чтобы ф-я была непрер. в т Û коорд. ф-и были непрер. в т. , где i=1, m.