Формула Тейлора и ее остаточный член

Поставим задачу: приблизить ф-ю многочленом в заданной т-ке. Пусть ф-я f имеет в т. x₀ n производных. выясним, $ ли многочлен P_n(x) степени n, т.ч. . Здесь Будем искать мн-н в виде: . Коэф. А_i наход. однозначно:

, тогда и т.д. Получаем

Получаем. что алг. мн-н м. записать с пом. его производных в некот. т-ке:

естественно рассм-ть мн-н такого типа для ф-й . Будем наз. этот мн-н полиномом Тейлора n-ого порядка для f в т. Для его $-я необх. $

Разность наз. n-ым остатком Тейлора для f в т. .

Теорема1: Пусть ф-я f(x) опред. на (a, b) производные до порядка n включит., тогда при , . -остаточный член n-ого пор. ф-лы Тейлора в форме Пеано.

Док-во: Применяя правило Лопиталя для раскрытия неопределенности получим:

, т.е. что и т.д.

Теорема 2. Пусть f Î Сⁿ [ x₀, х ] имеем n непрер. производных и $ f^(n-1) на (х₀, х), тогда

остаток в форме Лагранжа.

Следствие: (Локальная форма остаточного члена): Если функции определены в окрестности т. и , то: при .

Док-во: Применим Th1заменив n на n+1, тогда где при .

, где при . Ч.т.д.

Теорема2: (Глобальная форма остаточного члена): Если функция раз дифференцируема на отрезке [a, x], а функция дифференцируема на (a, x), то (3)

Док-во: Будем искать остаточный член в виде где не известна. Зафиксируем a и x > a, и введем вспомогательную функцию: Эта функция непрер. на [a, x] и дифференцируема на (a, x). Найдем По Th Ролля для

/по Th Ролля/ Т.к. , то Þ (3). Ч.т.д.

Замечание: При разных значениях параметра p из (3) получаются часто встречающееся форма остаточного члена:

(а) - Лагранжа (б) - Коши