Гравитационные волны в идеальной жидкости

Классификация:

1.гравитационные-под действием силы тяжести, или если поверхность жидкости выведена из горизонтального положения.

2.копилярные- возникающие под действием сил поверхностного натяжения.

3.приливные- притяжение к солнцу и луне

4.корабельные- в следствие движения твердого тела в жидкости.

5. упругие- смешанных средах, состоят в поперечном сжатии и растяжении частиц жидкости или газа.

Гравитационные:

Идеальная жидкость, в поле силы тяжести, может быть ограничена твердыми поверхностями.

Уравнение движения идеальной жидкости:

(уравнение Эйлера) (τ – период колебаний, a – амплитуда, λ – длина волны)

Граничные условия: на (дно)(на условия не ставятся)

Предположим, что амплитуда возмущения < < длины волны:

Проведем оценку членов уравнения Эйлера:

(т.к. основное перемещение по вертикали) τ -период колебания

; (т.к. квадратным членом можно принебречь)

,

Берем операцию rot от обеих частей (в правой части 0, т.к. rot(grad) = 0):

Const т.к. волновые движения переодические по координатам, то осредненное значение по периоду с=0 => => волновое движение жидкости под действием силы тяжести безвихревое. Введем потенциал . => подставляем в уравнение неразрывности => ( - оп-р Лапласа)

Вывод: волновые движения под действием силы тяжести – безвихревые, потенциальные, удовлетворяют уравнению Лапласа для потенциала скоростей.

Т.к. движение потенциально, то справедлив интеграл Коши – Лагранжа:

(пренебрегаем в силу малости)

Граничные условия: при

Т.к. колебания малы, рассмотрим колебания вблизи точки равновесия z=0 пол. Равновесие => Решение ищем в виде волны: ;

k-волновое число (мода волны возмущения) - уравнение поверхности

- синусоида - амплитуда

- период колебания

Гребни + подошвы = пучности

К-ты узлов и пучностей: -узлы -меняется -не меняется -кучности - не меняется -меняется

Вывод: в кучностях колебания частиц происходит в вертикальном направлении, а в узлах в горизонтальном

Уравнение линий тока:

- стационарные линии тока около точки равновесия совпадают с траекторией, т.е. с прямой