Th. (Минимизирующее свойство коэф-в Фурье)

Пусть есть ортогональная система функций . Пусть разложена по ней в ряд Фурье с коэф. . Тогда для любого набора коэф-в и для справедливо неравенство:

что

Доказательство: оценим норму .

= =

Очевидно, что первые два слагаемых от не зависят. Последние слагаемые обращается в нуль только когда . Таким образом разность минимальная при . Т.е. если мы хотим получить ряд, лучшим образом приближающий к истинному значению , то ряд Фурье – самый предпочтительный

Неравенство Бесселя:

Пусть есть ортонормированная система ф-ций . Пусть разложена в ряд Фурье по с коэф. . Тогда ряд сходится и справедливо неравенство Бесселя:

.

Из доказательства предыд. теоремы возьмем равенство

, где , т.к. В силу неотрицательности левой следует , n- произвольное, а правая часть от n не зависит, следов. ряд сходится, следов. при получаем неравенство Бесселя:

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π. Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤ x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов