Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Хай функція у = f(x) безперервна на відрізку [ а, b ]. З властивостей безперервних функцій виходить, що ця функція у вказаної області досягає свого найбільшого і найменшого значень. Причому ці значення функція може набувати або у внутрішній точці відрізання, або на границі відрізку.

На основі вищесказаного правило знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку зводиться до наступних дій:

1) Знайти критичні точки функції.

2) Знайти значення функції в критичних точках.

3) Знайти значення функції на кінцях відрізку.

4) Вибрати серед набутих значень найбільше і найменше.

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції

на відрізку [-1, 3].

Розв‘язок. Знаходимо критичні точки даної функції, визначимо похідну функції

;

звідки f¢ (x) = 0 при х₁ = 1 і при х₂ = 2, обоє ці точки належать відрізку [-1, 3]. Знаходимо значення функції в критичних точках х₁, х₂ і на кінцях відрізку -1, 3: f( 1 ) = 1, f( 2 ) = 0, f( -1 ) = -27, f( 3 ) = 5. Порівнюючи дані величини, знаходимо найбільше і найменше значення

f _ниб = 5 в точці х = 3, f _ним = -27 в точці х = -1.

Завдання для самостійного розв‘язання

Знайти найменше і найбільше значення функції

1) [-2; 1]. 2) [2; 4].

3) [-2; -0, 5]. 4) [-2; 1].