Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Основні теореми диференційного аналізу
|
|
При дослідженні поведінки диференційованої функцій на деякому відрізку [ а, b ], важливе значення мають наступні теореми диференційного аналізу.
Теорема (Ролль). Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [ а, b ], диференційована на інтервалі (а, b) і значення функції на кінцях відрізання рівні f(a) = f(b), то на інтервалі (а, b) існує точка с, а < с < b, в якій похідна f¢ (x) рівна нулю, тобто f f¢ (с) = 0.
Доведення. По властивості функцій, безперервних на відрізку функція f(x) на відрізку [ а, b ] набуває найбільшого і найменшого значень. Позначимо ці значення М і m відповідно. Можливі два різні випадки М = m і M ¹ m.
Хай M = m. Тоді функція f(x) на відрізку [ а, b ] зберігає постійне значення і в будь-якій точці інтервалу її похідна дорівнює нулю. В цьому випадку в якості с можна прийняти будь-яку точку інтервалу.
Хай M ¹ m. Оскільки значення на кінцях відрізання рівні, то функція приймає хоч би одне із значень М або m у внутрішній точці з інтервалу (а, b). Хай, наприклад, функція набуває значення М в точці х = с (а < с < b), тобто f(с) = M. Оскільки М - найбільше значення функції, то для всіх 
виконується нерівність 
.
Знайдемо похідну f¢ (x) в точці х = с:
Через попередню нерівність виконується умова 
, якщо 
, тобто 
і тому 
.
Якщо ж 
, тобто 
, то 
.
Таким чином 
.
У разі, коли f(с)= m, доведення аналогічне.
Геометричний зміст теореми Ролля полягає в тому, що при виконанні умов теореми на інтервалі (а, b) існує принаймні одна крапка с, в якій дотична до графіка у = f(x) паралельна осі Ох.
Теорема (Коши). Якщо функції f(x) і g(x) безперервні на відрізку [ а, b ] і диференційовані на інтервалі (а, b) і g¢ (x) ¹ 0 на інтервалі (а, b), то існує принаймні одна точка с, а < с < b, така, що
.
Тобто відношення приростів функцій на даному відрізку дорівнює відношенню похідних в точці с.
Доведення. Розглянемо допоміжну функцію
,
яка на інтервалі [ а, b ] задовольняє умовам теореми Ролля. Легко бачити, що при х = а і х = b F(a)= F(b) = 0. Тоді по теоремі Ролля існує така точка с, а < с < b, така, що F¢ (с) = 0. Оскільки
, то
Але 
, то 
. Теорема доведена.
Теорема (Лагранж). Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [ а, b ] і диференційована на інтервалі (а, b), то на цьому інтервалі знайдеться принаймні одна крапка с, така, що виконується рівність
. (5.13)
Доведення. Теорему Лагранжа можна розглядати, як окремий випадок теореми Коши. Дійсно, покладемо g(x) = х, тоді g¢ (x)= 1, g¢ (с)= 1. Підставляючи ці значення у формулу
отримуємо 
або
. Теорема доведена.
Отриманий вираз (5.13) називається формулою Лагранжа або формулою кінцевих приростів. Згідно цій формулі приріст диференційної функції на відрізку [ а, b ] дорівнює приросту аргументу, помноженому на значення похідної функції в деякій внутрішній точці цього відрізку.
Розкриття невизначеностей (правила Лопіталя)
До розряду невизначеностей, пов'язаних з обчисленням границь, прийнято відносити наступні співвідношення:
.
Теорема (правило Лопіталя)Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в поблизу точки а, безперервні в точці а, g¢ (x) відмінна від нуля поблизу а і f(a) = g(a) = 0, то границя відношення функцій при х® а дорівнює границі відношень їх похідних, якщо ця границя (кінцева або нескінчена) існує.
.
Доведення. Застосувавши формулу Коши, отримаємо:
де с - точка, що знаходиться між а і х. Враховуючи, що f(a) = g(a)= 0:
.
Хай при х ® а відношення 
прагне до деякої границі. Оскільки точка с лежить між точками а і х, то при х ® а отримаємо с ® а, а отже і відношення 
прагне до той же границі. Таким чином, можна записати:
. Теорема доведена.
Приклади. 1) Знайти границю: 
= 
= 
= 
= 0.
2) Знайти границю:.
; 
;
; 
;
; 
; 
слід зауважити, що правило Лопіталя – всього лише один із способів обчислення границі. Часто в конкретному прикладі разом з правилом Лопіталя може бути використаний і який – набудь інший метод (заміна змінних, домноження та ін.).
3) Знайти границю: 
.
; 
;
- знову вийшла невизначеність.
Застосуємо правило Лопіталя ще раз.
; 
;
- застосовуємо правило Лопіталя ще раз.
; 
;
;
Невизначеності вигляду 
можна розкрити за допомогою логарифмування. Такі невизначеності зустрічаються при знаходженні границь функцій вигляду, 
f(x) > 0 поблизу точки а при х ® а. Для знаходження границі такої функції досить знайти границю функції
ln у = g(x) lnf(x).
4). Знайти границю 
.
Тут y = x x, ln у = x lnx.
Тоді 
. Отже 
.
5) Знайти межу 
.
; 
- отримали невизначеність.
Застосовуємо правило Лопіталя ще раз.
; 
.