Похідна функції, її геометричний і фізичний зміст.

Диференціальне числення функції

Одній змінній.

Похідна функції, її геометричний і фізичний зміст.

Визначення. Похідній функції f(x) в точці х = х₀ називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу, якщо він існує.

. (5.1)

в

f(x)

f(x0 +(x) P

Df

f(x0) M

a b Dx

0 x0 x0 + (x x

Рис. 5.1.

Хай f(x) визначена на деякому проміжку (а, b). Тоді тангенс кута нахилу січної МР до графіка функції.

,

де (a - кут нахилу дотичної до графіка функції f(x) в точці (x₀, f(x₀)).

Кут між кривими може бути визначений як кут між дотичними, проведеними до цих кривих в якій - набудь точці.

Рівняння дотичної до кривої: . (5.2)

Рівняння нормалі до кривої: . (5.3)

Фактично похідна функції показує як би швидкість зміни функції, як змінюється функція при зміні змінній.

Фізичний зміст похідної функції f(t), де t - час, а f(t) - закон руху – миттєва швидкість руху.

Відповідно, друга похідна функції - швидкість зміни швидкості, тобто прискорення.

Функція у = f(x), що має похідну в кожній точці інтервалу (а, b), називається такою, що диференціюється в цьому інтервалі. Відповідно операція знаходження похідної функції називається диференціюванням.

Розглянемо основні властивості функцій, що диференціюються.

1. Теорема 1 (необхідна умова існування похідної) Якщо функція f(x) має похідну в точці х₀, то вона безперервна в цій точці.

2. Теорема 2. Якщо функція у = f(x) на інтервалі (а, b) монотонна і має в довільній точці х цього інтервалу похідну не рівною нулю, то зворотна функція х = φ (у) також має похідну у відповідній точці і рівна . (5.4)

Отже, похідна зворотної функції дорівнює зворотній величині похідної даної функції.