Асимптоти графіка функції

Часто виявляється, що графік функції при видаленні поточної крапки кривою на нескінченність необмежено наближається до деякої прямої. Такі прямі називаються асимптотами. Дослідження функцій на наявність асимптот має велике значення при визначенні характеру поведінка графіка кривою. Слід зазначити, що не будь-яка крива має асимптоти. За наявності в кривої асимптот розрізняють три їх види: вертикальні, горизонтальні і похилі.

Визначення. Пряма х = а називається вертикальною асимптотою графіка функції у = f(x), якщо або або .

Наприклад, для функції пряма х = 5 є вертикальною асимптотою, оскільки , .

Визначення. Пряма називається похилою асимптотою графіка функції у = f(x) при , якщо f(x) можна представити у вигляді

f(x) = , де при .

Це визначення відноситься також і до горизонтальної асимптоти, якщо k = 0.

Для точного визначення похилої асимптоти необхідно знайти спосіб обчислення коефіцієнтів k і b. Розділимо обоє частини попередньої рівності на х і переходячи до границі коли , отримаємо

, тобто

. (5.14)

Потім з рівності , переходячи до границі при , отримаємо

, тобто

. (5.15)

Приклад. Знайти асимптоти функції .

Пряма х = -2 є вертикальною асимптотою кривої.

Знайдемо похилі асимптоти.

.

Таким чином, пряма у = х – 4 є похилою асимптотою.