Максимум і мінімум функцій

Визначення. Функція f(x) має в точці х₁ максимум, якщо її значення в цій точці більше значень f(x₁ +D x) < f(x₁) в усіх точках деякого інтервалу, що містить точку х₁. Функція f(x) має в точці х₂ мінімум, якщо f(x₂ +Dx) > f(x₂) при будь-якому D х (D х може бути і від‘ємним).

Очевидно, що функція, яка визначена на відрізку може мати локальний максимум (локальний мінімум) лише в точках, що знаходяться усередині цього відрізку. Необхідно розрізняти максимум (мінімум) функції і її найбільше (найменше) значення на відрізку – це поняття принципово різні.

Визначення. Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму.

Теорема (необхідна умова існування екстремуму). Якщо функція f(x) диференційована в точці х = х₁ і точка х₁ є точкою екстремуму, то похідна функції дорівнює нулю в цій точці.

Доведення. Передбачимо, що функція f(x) має в точці х = х₁ максимум. Тоді при досить малих позитивних D х > 0 вірна нерівність:

, тобто

Тоді

За визначенням:

.

Тобто якщо D х ® 0, але D х < 0, то f¢ (x₁) ³ 0, а якщо D х ® 0, але D х > 0, то f¢ (x₁) £ 0.

А це можливо лише в тому випадку, якщо при D х ® 0 f¢ (x₁) = 0.

Для випадку, якщо функція f(x) має в точці х₂ мінімум теорема доводиться аналогічно. Теорема доведена.

Визначення. Критичними точками функції називаються точки, в яких похідна функції не існує або дорівнює нулю.

Теорема (достатні умови 1 існування екстремуму). Хай функція f(x) безперервна в інтервалі (а, b), який містить критичну точку х₁, і диференційована в усіх точках цього інтервалу (окрім, можливо, самої точки х₁). Тоді якщо під час переходу через точку х₁ зліва направо похідна функції f((x) міняє знак з “+” на “-“, то в точці х = х₁ функція f(x) має максимум, а якщо похідна міняє знак з “-“ на “+”- те функція має мінімум.

Доведення. Хай

По теоремі Лагранжа: f(x) – f(x₁) = f¢ (с)(x – x₁), де x < с < x₁.

Тоді: 1) якщо х < x₁, то с < x₁; f¢ (с) > 0; f¢ (с)(x – x₁) < 0, отже

f(x) – f(x₁)< 0 або f(x)< f(x₁).

2) якщо х > x₁, то с > x₁ f¢ (с) < 0; f¢ (с)(x – x₁) < 0, отже

f(x) – f(x₁)< 0 або f(x)< f(x₁).

Таким чином, значення функції f(x) в точці х₁ є найбільшим на інтервалі, тобто f(x) < f(x₁) в усіх точках поблизу х₁. Це означає, що х₁ – точка максимуму.

Доведення теореми для точки мінімуму виробляється аналогічно.

Теорема (достатні умови 2 існування екстремуму). Якщо в точці х₁ перша похідна функції f(x) дорівнює нулю (f¢ (x₁) = 0), а друга похідна в точці х₁ існує і відмінна від нуля (f¢ ¢ (x₁) ≠ 0), то функція f(x) в точці х = х₁ має максимум, якщо f¢ ¢ (x₁) < 0 і мінімум, якщо f¢ ¢ (x₁) > 0.

Доведення. Хай f¢ (x₁) = 0 і f¢ ¢ (x₁) < 0. Оскільки функція f(x) безперервна, то f f¢ ¢ (x₁) буде від‘ємною і в деякій малій околиці точки х₁.

Оскільки f¢ ¢ (x) = (f¢ (x))¢ < 0, то f¢ (x) спадає на відрізку, що містить точку х₁, але f¢ (x₁) = 0, тобто f¢ (x) > 0 при х < x₁ і f¢ (x) < 0 при x > x₁. Це і означає, що під час переходу через точку х = х₁ похідна f¢ (x) міняє знак з “+” на “-“, тобто в цій точці функція f(x) має максимум.

Для випадку мінімуму функції теорема доводиться аналогічно.

Якщо f¢ ¢ (x) = 0, то характер критичної точки невідомий. Для його визначення потрібне подальше дослідження.