Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами и систем уравнений с помощью z - преобразования

Линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

. (1.4)

Число называется порядком уравнения.

Для того чтобы решение уравнения получалось вполне определенным, должны быть заданы начальные условия . В этом случае, полагая в уравнении (1.4) , мы сможем найти . Затем, полагая в уравнении , мы сможем найти и т.д. Следовательно, все значения могут быть вычислены последовательно. Поэтому уравнение (1.4) называют еще рекуррентным уравнением. Мы пойдем по другому пути – получим для общую формулу. Проще всего это сделать при помощи z – преобразования.

Обозначим преобразование Лорана решения уравнения (1.4), а - преобразование Лорана последовательности . Из теоремы опережения следует

.

Поэтому разностное уравнение (1.4) после z – преобразования переходит в изображающее уравнение

.

Из полученного уравнения находим

.

Оригинал , соответствующий полученному изображению , будет удовлетворять уравнению (1.4) и заданным начальным условиям. Сам оригинал можно искать в виде

,

где сумма распространяется на все особые точки функции .

Пример. Найти решение уравнение

,

удовлетворяющее начальным условиям

.

Решение. Используя теореме опережения и таблицу 1.1, находим изображающее уравнение

.

Решая его относительно , получаем

.

Особыми точками полученной функции являются - полюс второго порядка и - полюс первого порядка. Следовательно,

.

.

Итак, решение уравнения имеет вид

.

Рассмотрим теперь решение систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Заметим, что последовательность – оригинал представляет собой функцию целочисленного аргумента, для которой . Такое обозначение даст возможность не использовать двойные индексы.

Система линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записана в виде:

(1.5)

Начальные условия для определения решения данной системы запишем в виде: .

Применим операционный метод к решению этой системы. Пусть

;

.

Используя теорему опережения и начальные условия, находим

.

Таким образом, применяя z-преобразование к системе (1.5), получаем систему линейных неоднородных уравнений относительно неизвестных .

Решив эту систему и найдя оригиналы для , получим решение систему (1.5).

Пример. Решить систему разностных уравнений:

Решение. Переходя к изображениям по Лорану, получаем

Полученную систему перепишем в виде

Решая систему по правилу Крамера, находим

; .

Особыми точками полученных функций являются - полюс первого порядка и - полюс третьего порядка. Поэтому

.

Заметим, что линейное разностное уравнение можно свести к системе линейных разностных уравнений. Действительно, пусть дано уравнение (1.4). Обозначим

.

Очевидно, что

.

Из уравнения (1.4) следует, что

.

Мы, таким образом, приходим к системе