Метод хорд. Предположим, что функция в уравнении (3.1) удовлетворяет следующим условиям:

Предположим, что функция в уравнении (3.1) удовлетворяет следующим условиям:

· ;

· для любого .

Остальные случаи для знаков производных разбираются аналогично. Обозначим через корень уравнения (3.1).

Метод хорд состоит в следующем. График функции заменяется его хордой, т.е. отрезком, соединяющим точки (рис. 3.1). Абсцисса точки пересечения этой хорды с осью и рассматривается как первое приближение искомого корня.

Рис 3.1. Решение уравнения по методу хорд

Уравнение хорды имеет вид . Его можно переписать в виде . Обозначим правую часть этого уравнения через . Решая уравнение , находим .

Так как , то . Действительно, и, кроме того, . Так как , то функция выпукла вниз, следовательно, любая внутренняя точка хорды, соединяющей крайние точки графика функции , лежит над соответствующей точкой графика функции , т.е. . Поэтому, . Так как , то, в силу возрастания функции , получаем, что .

Снова проводим хорду через точки и находим

.

Продолжая описанный процесс, получим ограниченную монотонно возрастающую последовательность , где

. (3.4)

Так как последовательность возрастает и ограничена сверху, то существует предел . Переходя к пределу в равенстве (3.4), получим . Таким образом, последовательность сходится к корню уравнения (3.1).

Предположим, что . Тогда, по теореме Лагранжа, получим

.

Отсюда

. (3.5)

Неравенство (3.5) дает оценку погрешности приближенного корня.