Метод итераций. Рассмотрим систему нелинейных уравнений специального вида

Рассмотрим систему нелинейных уравнений специального вида

, (4.1)

где . Решение системы (4.1) будем искать как предел последовательности , где .

Теорема 4.1. Пусть функции действительны, определены и непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой замкнутой ограниченной области , причем

· для всех выполняется ;

· .

Тогда последовательность сходится при любом выборе начального приближения , и предельный вектор является в области единственным решением системы (4.1). Кроме того, имеет место неравенство

. (4.2)

Как было сказано в главе 3, лабораторная работа по теме «Численные методы решения нелинейных уравнений и систем» состоит из двух частей. Во второй части работы требуется найти приближенное решение системы с заданной точностью.

Пример. Найти приближенное решение системы

в квадрате с точностью .

Решение. Перепишем систему в виде:

Пусть . Введем функции

.

Запишем матрицу Якоби этой системы функций:

.

Тогда

Так как при любом имеем , то в квадрате существует единственное решение данной системы. При этом

, где .

Положим , тогда и . Следовательно, последнее неравенство для определения количества итераций запишется в виде:

.

Решая данное неравенство, получаем . Итак, является приближенным решением системы, удовлетворяющим заданной точности. В листинге 4.1 приведен документ MathCad, в котором реализован метод итераций.

Листинг 4.1. Метод итераций