Метод Ньютона. Предположим, что функция снова удовлетворяет таким же условиям, как и в методе хорд

Предположим, что функция снова удовлетворяет таким же условиям, как и в методе хорд. Проведем касательную к графику функции в точке . Абсцисса точки ее пересечения с осью и считается первым приближением корня уравнения (7). Уравнение касательной имеет вид:

.

Рис. 2. Решение уравнения по методу Ньютона

Обозначим его правую часть через . Решение уравнения имеет вид . По предположению, функция строго возрастает и выпукла на , следовательно, . Таким образом, . Так как , то . К отрезку применяем аналогичные рассуждения. Имеем . Проводим касательную через точку и находим точку пересечения этой касательной с осью . Продолжая описанный процесс, получим последовательность такую, что

. (3.6)

Эта последовательность монотонна и ограничена снизу, поэтому существует предел . Переходя к пределу в равенстве (3.6), получим .

Дадим еще оценку скорости сходимости метода Ньютона. Пусть для рассматриваемой функции на рассматриваемом интервале выполняются неравенства

.

Разложим функцию в окрестности точки поформуле Тейлора, например, с остаточным членом в форме Лагранжа

,

где . Если то, подставляя в написанную формулу, получим

.

Отсюда

,

или, в силу формулы (12), получим

.

Следовательно,

,

откуда

.

Применяя последовательно это неравенство, будем иметь

Если выбрать первоначальное приближение так, чтобы , то получим

.

Таким образом, скорость сходимости приближенных решений к корню значительно превышает скорость убывания геометрической прогрессии со знаменателем по абсолютной величине, меньшим единицы.

5. Выполнение первой части лабораторной работы по теме «Численные методы решения нелинейных уравнений и систем»

Вторая лабораторная работа посвящена численным методам решения нелинейных алгебраических уравнений и систем уравнений. Работа состоит из двух частей. В первой части студент одним из предлагаемых ему методов находит приближенное значение корня нелинейного уравнения с использованием среды MathCad.

Пусть дано уравнение . Требуется найти приближенное значение корня на отрезке методом дихотомии с точностью . Заметим, что функция непрерывна на указанном отрезке и строго возрастает на нем. Так как , то на отрезке данное уравнение имеет единственный корень. Пример поиска корня уравнения методом дихотомии иллюстрируется листингом 3.1.

Найдем теперь корень данного уравнения методом хорд. Для этого заметим, что функция дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке . Кроме того, на этом отрезке выполняются неравенства . Поэтому последовательность, сходящаяся к корню имеет вид:

.

Так как на отрезке выполняется неравенство , то приближенным значением корня будет элемент последовательности , для которого выполняется неравенство . Пример поиска корня уравнения методом хорд иллюстрируется листингом 3.2.

Листинг 3.1. Поиск корня уравнения методом дихотомии

Листинг 3.2. Поиск корня уравнения методом хорд

Рассмотрим теперь решение уравнения методом итераций. Для этого перепишем его в виде и заметим, что функция на отрезке удовлетворяет следующим условиям:

· ,

· для любого выполняется ,

· .

Следовательно, последовательность сходится к корню уравнения и имеет место неравенство

.

Пример поиска корня уравнения методом итераций иллюстрируется листингом 3.3.

Листинг 3.3. Поиск корня уравнения методом итераций.