Уравнения с одним неизвестным

Преобразуем уравнение (3.1) к виду

, (3.3)

где . Предположим, что функция удовлетворяет следующим условиям:

· ,

· для любого выполняется ,

· .

В этом случае уравнение (3.1) имеет один единственный корень. Действительно, в силу теоремы Лагранжа,

.

Поэтому отображение является сжатым отображением полного метрического пространства в себя. По теореме С. Банаха, такое отображение имеет единственную неподвижную точку, значит, уравнение (3.1) имеет единственный корень . Пусть - произвольная точка. Тогда последовательность точек

сходится к точке . Кроме того, имеет место оценка погрешности:

.

Итак, для решения уравнения (3.1) выбирается некоторое начальное приближение и последовательно находятся приближенные решения (итерации) уравнения (3.1). Значение итерации выражается через известную предыдущую итерацию. Данный метод носит название метода итераций.