Метод Ньютона. Пусть дана система нелинейных уравнений

Пусть дана система нелинейных уравнений . Предположим, что найдено -ое приближение одного из изолированных решений системы. Тогда точное решение можно представить в виде , где - погрешность корня. Следовательно,

.

Предположим, что функции дифференцируемы в некоторой выпуклой области . Тогда для , по формуле Тейлора, получим

,

где - остаточный член формулы Тейлора.

Отбрасывая остаточные члены, получим

.

Если матрица не вырождена, то, из последнего равенства находим

.

Поэтому,

Метод нахождения решения как предел последовательности , называется методом Ньютона. В практических вычислениях в качестве условия окончания итераций обычно используется критерий

,

где - заданная точность.

Пример. Методом Ньютона найти положительное решение системы

Решение. Для выбора начального приближения применяем графический способ. Построим в интересующей нас области кривые , (рис. 4.1). Из приведенного рисунка видно, что положительное решение находится в квадрате . В качестве начального приближения примем .

Рис. 4.1. Определение начального приближения

В данном примере . Следовательно, . В листинге 4.2. приведен документ MathCad, в котором реализован метод Ньютона.

Листинг 4.2. Метод Ньютона

ЛИТЕРАТУРА

1. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z – преобразования.- Наука, 1971;

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – Наука, 1966;

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука 1978;

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука, 1987.

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

ГЛАВА 1. Z – ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ