Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Формула полной вероятности. Формулы Байеса
|
|
События 
образуют полную группу событий, если они попарно несовместны, а их сумма является достоверным событием, т.е.: Bi ∙ Bj = Ø при i ≠ j и 
. Такие события называются гипотезами.
По теореме сложения вероятностей для полной группы событий справедливо равенство: 
ПРИМЕР: В лесу растут деревья, среди которых 60% берез, 10% елей и 30% сосен. Для замеров деревьев случайным образом выбирается одно из них. Рассмотрим события: В1 – «выбранное дерево береза», В2 – «выбранное дерево ель», В3 – «выбранное дерево сосна». Очевидно, что эти события попарно несовместны (если выбрали березу, то она не может оказаться ни елью, ни сосной), а сумма вероятностей этих событий равна 1. Значит, эти события образуют полную группу событий (являются гипотезами).
Пусть событие А может наступить только при осуществлении одного из событий , образующих полную группу. Тогда вероятность этого события определяется по формуле полной вероятности:
|
ПРИМЕР: Сохраним условия предыдущего примера. Пусть при замере диаметра деревьев он оказался больше 15 см для 30% берез, 40% елей и 70% сосен. Найдем вероятность события А – «диаметр случайно выбранного дерева больше 15 см». Условные вероятности события А равны: 
. Тогда с учетом вероятностей гипотез из предыдущего примера по формуле полной вероятности найдем:
В формулу полной вероятности входят вероятности гипотез 
, которые называются априорными. Если событие А уже наступило, то эти вероятности изменятся и будут условными вероятностями 
, которые называются апостериорными. Эти вероятности могут быть найдены по формулам Байеса:
|
ПРИМЕР: Пусть в условиях предыдущего примера диаметр случайно выбранного дерева оказался больше 15 см, т.е. событие А наступило. Найти вероятность того, что измеренное дерево – береза.
По соответствующей формуле Байеса найдем:
Рекомендуемая литература по теме 1.1: [1 ÷ 4].
ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 1.1:
1. В чем отличие между сочетанием из трех элементов по два и размещением из трех элементов по два?
2. Различаются ли понятия перестановки из трех элементов и размещения из трех элементов?
3. Может ли вероятность некоторого события быть равной 1, 05?
4. Каким событием будет произведение несовместных событий?
5. Каким событием будет сумма события 
и его дополнения 
?
6. Что больше: 
или 
?
7. Чему равна сумма вероятностей всех событий, образующих полную группу?
____________________________________________________________
8. Могут ли изменяться вероятности гипотез после наступления события?