Интегральная формула Лапласа

Вероятность того, что число k появления события А в схеме Бернулли находится в заданном промежутке: , при большом числе испытаний n определяется по интегральной формуле Лапласа:

В этой формуле приняты следующие обозначения:

Функцию Φ (х) называют интегральной функцией Лапласа, а ее значения можно найти в соответствующих таблицах.

При вычислениях по интегральной формуле Лапласа следует иметь в виду, что интегральная функция Лапласа является нечетной функцией, т.е. .

ПРИМЕР: Вероятность выпуска цехом завода бракованных деталей постоянна и равна 0, 1. Найти вероятность того, что среди изготовленных цехом 100 деталей будет не менее 85 стандартных.

По условию задачи: n = 100, р = 0, 9, q = 0, 1, l = 85, m = 100. Найдем аргументы функции Лапласа:

По таблице, например, приложения 3 к пособию [2], найдем для этих значений аргумента значения интегральной функции Лапласа:

,

и окончательно получим:

Для относительной частоты m / n появления события А в n испытаниях по схеме Бернулли справедлива приближенная формула:

ПРИМЕР: Сколько нужно произвести бросаний монеты, чтобы с вероятностью 0, 95 можно было утверждать, что относительная частота выпадения герба отличается от вероятности 0, 5 по модулю не более чем на .

С использованием приведенной формулы можно записать:

, откуда получим:

.

По таблицам значений функции Лапласа найдем: . Но тогда: .

Рекомендуемая литература по теме 1.2: [1 ÷ 4].

ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 1.2:

1. Можно ли считать схемой Бернулли многократное бросание игральной кости?

____________________________________________________________

2. Может ли в схеме Бернулли при n = 10 и р = 0, 1 наивероятней­шее число успехов быть больше 2?

3. Как находится параметр х в локальной формуле Лапласа?

4. Какая функция используется для оценки вероятности в интегральной формуле Лапласа?

5. По какой формуле оценивается вероятность заданного отклонения относительной частоты от вероятности в схеме Бернулли?

6. В каких случаях более предпочтительно применение локальной формулы Лапласа, а не формулы Бернулли?

­­­­­­­­­­­­­____________________________________________________________

Тема 1.3. Случайные величины

Случайной величиной называется величина, которая в результате одного испытания принимает одно и только одно возможное значение, априори неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

ПРИМЕРЫ:

1. Количество родившихся мальчиков среди 100 новорожденных есть случайная величина, а числа от 0 до 100 – возможные значения этой случайной величины.

2. Расстояние, которое пролетает снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина, возможные значения которой располагаются в пределах отрезка с границами, соответствую­щими минимальной и максимальной дальности полета снаряда.

Случайные величины принято обозначать прописными латинскими буквами: X, Y, Z и т.д., а их возможные значения – строчными буквами: x, y, z и т.д.

Функцией распределения случайной величины Х называ­ется функция F (x), определяющая вероятность того, что величина Х примет значение, меньшее х, т.е. F (x) = P (X < x).