Непрерывные случайные величины

Непрерывной называется случайная величина Х, если ее функция распределения непрерывна на множестве ее возможных значений.

Распределение непрерывной случайной величины одно­знач­но определяется ее функцией распределения F (x), т.к.:

Из этой формулы следует, что вероятность каждого конкретного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Все свойства, сформулированные нами в предыдущем подразделе для функций распределения дискретных случайных величин, выполняются и для функций распределения непрерыв­ных случайных величин.

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя функцию, которую принято называть плотностью распределения вероятностей, или просто плотностью распреде­ле­ния.

Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называется производная от функции распределения этой случайной величины, т.е.:

Плотность распределения однозначно определяет распре­де­­ле­ние непрерывной случайной величины, поскольку:

И, кроме того, по определению:

Перечислим основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения является неотрицательной функ­­­ци­ей, т.е.

2.

Математическое ожидание М (Х) непрерывной случайной величины Х определяется формулой:

Дисперсия D (X) непрерывной случайной величины Х опре­де­­ляется формулой:

На практике для вычисления дисперсии непрерывных случайных величин используется другая формула:

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины Х определяется, так же как и для дискретных случайных величин, формулой:

Все свойства математического ожидания и дисперсии, сформулированные нами для дискретных случайных величин, без каких либо изменений остаются справедливыми и для непрерывных случайных величин.

ПРИМЕР: Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины Х, если она задана функцией распределения вида:

Для данной случайной величины функция распределения является кусочно-непрерывной, поэтому для плотности распределения можно найти:

Искомое математическое ожидание случайной величины Х найдем по формуле:

Искомую дисперсию найдем по формуле:

Наконец, среднее квадратическое отклонение найдем по форму­ле:

Рекомендуемая литература по теме 1.3: [1 ÷ 4].

ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 1.3:

1. Вероятность какого события является значением функции распределения случайной величины?

2. Каким является множество значений дискретной случайной величины?

3. Почему нельзя дискретную случайную величину задавать с помощью плотности распределения?

4. Какая числовая характеристика имеет смысл среднего значения случайной величины?

____________________________________________________________

5. Какая числовая характеристика оценивает степень рассеивания случайной величины?

6. Чем определяется величина скачка функции распределения дискретной случайной величины в точке разрыва?

7. Чему равны наименьшее и наибольшее значения функции распределения?

Тема 1.4. Законы распределения случайных величин

1.4.1. Биномиальное распределение

Пусть проводятся n испытаний по схеме Бернулли с вероят­ностью успеха р и вероятностью неуспеха q и p + q = 1. В этом случае дискретная случайная величина Х – число успехов может принимать любое из своих возможных значений с вероятностями, определяемыми по формуле Бернулли:

Такое распределение называется биномиальным с парамет­рами р и q.

Заметим, что сумма этих вероятностей будет равна:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение будет определяться форму­лами:

ПРИМЕР: Случайная величина Х – число выпадений герба при двух бросаниях монеты имеет биномиальное распределение с возможными значениями и с вероятностями этих значе­ний, рассчитываемыми по формуле Бернулли соответ­­­­­­ствен­но равными: р₀ = 0, 25, р₁ = 0, 5 и р₂ = 0, 25. При этом:

1.4.2. Геометрическое распределение

Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение, если она принимает значения k = 1, 2, 3, … (счетное множество значений) с вероятностями, определяемыми формулой:

Определение является корректным, поскольку сумма вероятностей возможных значений будет равна:

Случайная величина Х, имеющая геометрическое распреде­ле­ние, представляет собой число испытаний по схеме Бернулли до первого успеха. Математическое ожидание и дисперсия такой величины определяются формулами:

ПРИМЕР: В большой партии изделий вероятность брака равна р. Контроль качества проводится до первого появления бракованного изделия. В результате серии проверок обнаружилось, что бракованное изделие впервые появлялось в среднем при десятом испытании. Оценить вероятность р.

Пусть Х – число испытаний до первого появления бракован­ного изделия. Эта случайная величина имеет геометрическое распределение. Согласно условию ее среднее значение равно: , поэтому р = 1 / 10.