Оценка устойчивости исследуемой САУ по критерию Михайлова

Этот критерий основан на связи между характером переходного процесса, который возникает при нарушении равновесия системы и амплитудой и фазой вынужденных колебаний, устанавливающихся в системе под воздействием внешних возмущающих воздействий. Рассмотрим некоторую систему с характеристическим уравнением:

(јω) = P(ω) + Q(jω)

Годографом Михайлова называют кривую, которую вычерчивает на комплексной плоскости вершина вектора , представляет собой левую часть характеристического уравнения исследуемой системы при изменений частоты ω от -∞ до 0 и от 0 до +∞.

При этом вектор поворачивается на угол n против часовой стрелки если система устойчива и на угол n по часовой стрелке, если система неустойчива.

Чтобы дать определение критерию устойчивости в форме, предложенной Михайловым необходимо отметить следующее: так как вещественная часть (P(ω)) является четной, а мнимая часть (Q(jω)) — нечетной функцией частоты ω, то годограф Михайлова симметричен относительно вещественной оси, поэтому нет необходимости рассматривать лишь одну его часть, которая вычерчивает вектор .

Чтобы система автоматического управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при увеличении ω от 0 до +∞, начав движение из точки, лежащей на положительной части вещественной оси, вращаясь против часовой стрелки и нигде не обращаясь в ноль, прошел последовательно n квадрантов, повернувшись на угол n .

Для оценки устойчивости системы автоматического управления по критерию Михайлова необходимо воспользоваться характеристическим уравнением замкнутой системы автоматического управления.

ПРИМЕР:

A(p)=0.001p⁴+9.7008p³+7.77p²+103p+600=0

Характеристическое уравнение – это знаменатель передпточной функции замкнутой системы, приравненнный к нулю. В характеристическом уравнении замкнутой системы заменим p на jω, тогда получим:

А(iω)=0.001ω ⁴-9.7008iω ³-7.77iω ²+103iω +600=0

Выделим из уравнения действительную и мнимую части и получим:

P(ω)= 0.001ω ⁴-7.77iω ²+600 – вещественная часть;

Q(iω)=-9.7008iω ³+103iω  - мнимая часть

Для того, чтобы построение годографа Михайлова было простым и не затруднительным, составим таблицу в которой отметим различные значения координат P(ω) и Q(jω) при различных значениях частоты ω.

Таблица 2.1 – Координаты точек годографа Михайлова

Теперь по полученным точкам построим годограф Михайлова. Пример годографа представлен в ПРИЛОЖЕНИИ К.

Система устойчива, т. к. годограф Михайлова выйдя из точки на положительной вещественной полуоси с координатами (600; 0;) последовательно прошел против часовой стрелки четыре квадранта, нигде не обернувшись в нуль, что соответствует характеристическому уравнению четвертого порядка