Приведем одну теорему, доказательство которой очевидно.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть — множество направленных отрезков в пространстве. Отношение эквиполентности на является отношением эквивалентности, т.е. удовлетворяет трем условиям:

1) — рефлексивно, т.е. ;

2) — симметрично, т.е. если , то ;

3) — транзитивно, т.е. если и , то .

Из теоремы 2.1. следует, что разбивается отношением на непересекающиеся классы. Получаем фактор-множество .

Элементами множества являются классы эквиполентных между собой направленных отрезков.

Определение 2.1. Вектором или свободным вектором называется множество эквиполентных между собой направленных отрезков.

Пусть — направленный отрезок, тогда класс направленных отрезков эквиполентных ему мы называем вектором и обозначаем . Вектор заполняет все пространство, а — это представитель вектора Векторы мы будем обозначать еще и малыми латинскими буквами . Нулевым направленным отрезком определяется нулевой вектор . Длиной вектора естественно считается длина направленного отрезка (представителя), т.е. . Длина нулевого вектора считается равной нулю. Вектор называется единичным, если его длина равна единице.

Заметим, что запись (читается " вектор равен вектору ") означает, что множество совпадает с множеством , т.е. и --- один и тот же вектор, но по-разному обозначенный. В частности, запись означает, что и --- один и тот же вектор (т.е. что отрезки и эквиполентны).
Имеет место следующая лемма о равенстве векторов.

ЛЕММА 2.1. (признак равенства векторов)

Если , то .

Доказательство. середины отрезков и совпадают (см. Лемму 1.1.). Но тогда середины отрезков и совпадают, значит, (см. Лемму 1.1.). Другими словами, .

Отложить вектор от точки — значит построить направленный отрезок , входящий в класс направленных отрезков, образующих вектор