Признак коллинеарности векторов.

ТЕОРЕМА 6.1. Пусть . Тогда

Доказательство необходимости. Существование докажем конструктивно, т.е. укажем число удовлетворяющее
условиям теоремы. Положим

Легко проверить, что векторы и имеют одинаковые длины и направления. Следовательно, .
Докажем теперь единственность. Пусть существует еще число такое, что . Тогда имеем равенство

так как .

Доказательство достаточности. Непосредственно следует из определения произведения вектора на число.

Компланарные векторы. Признак компланарности векторов.

Определение 7.1. Вектор называется параллельным плоскости , если прямая либо параллельна плоскости , либо лежит в ней. Нулевой вектор параллелен любой плоскости.

Определение 7.2. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

ТЕОРЕМА 7.1. Пусть векторы такие, что неколлинеарен . Векторы компланарны тогда и только тогда, когда существуют и определены однозначно числа и такие, что выполняется равенство .

Доказательство необходимости. Существование. От произвольной точки отложим векторы и . Так как векторы компланарны, то точки лежат в одной плоскости, а точки не лежат на одной прямой ( неколлинеарен ). Рассмотрим возможные случаи расположения точки .

1. не лежит на прямых и .Через точку проведем прямые параллельные прямым и соответственно, где .

По правилу параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов имеем . Но точки , значит . По теореме 6.1. получаем, что , т.е. .

2. . В этом случае и по теореме 6.1. получаем, что . Полагая , снова приходим к требуемому равенству.

3. . Этот случай рассматривается аналогично случаю 2.

Итак, существование чисел и доказано. Переходим к доказательству их единственности. Предположим, что существуют еще числа и , удовлетворяющие условию теоремы. Тогда имеем равенство

Если бы , то имело бы место равенство

из которого следовало бы по теореме 6.1., что . Но это противоречит условию. Следовательно, . Аналогично можно доказать, что . Необходимость доказана.

Доказательство достаточности. Пусть имеет место равенство . Отложим от некоторой точки вектор , затем от точки вектор . Тогда . Рассмотрим плоскость, содержащую три точки , обозначим ее через . Тогда получаем, что векторы параллельны этой плоскости. Но тогда плоскости параллельны также векторы , т.е. они компланарны по определению. Теорема доказана полностью.

Для дальнейшего изложения нам потребуется еще одна теорема, доказательство которой предлагаем провести самостоятельно в полной аналогии с доказательством теоремы 7.1.
ТЕОРЕМА 7.2. Если векторы некомпланарны, то для любого вектора имеет место равенство