Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Линейная зависимость и независимость системы векторов.
|
|
В этом параграфе рассматривается произвольное векторное пространство 
(см. Замечание 5.1.)
Определение 8.1. Пусть дана система векторов
Говорят, что вектор 
является линейной комбинацией векторов системы 
с коэффициентами 
, если справедливо равенство
Говорят еще, что вектор 
линейно выражается через векторы системы .
Определение 8.2. Векторы системы называются линейно независимыми, если равенство
выполняется тогда и только тогда, когда все 
равны нулю.
Отметим, что набор чисел является нулевым тогда и только тогда, когда все числа этого набора равны нулю. В противном случае, набор чисел считается ненулевым.
Определение 8.3. Векторы системы называются линейно зависимыми, если существует хотя бы один ненулевой набор такой, что имеет место равенство 
.
Свойства линейной зависимости.
1. Система векторов, содержащая 
, линейно зависима.
Действительно, справедливо равенство 
2. При 
система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.
В самом деле, пусть система векторов линейно зависима. Тогда по определению выполнено равенство 
, причем, например, 
. Перепишем это равенство в виде
. Получаем, что 
является линейной комбинацией векторов 
.
Обратно, пусть, например, является линейной комбинацией векторов . По определению это означает, что имеем равенство 
, которое равносильно равенству 
. Заметим, что набор чисел 
--- ненулевой, поэтому система векторов линейно зависима.
3. Если подсистема системы векторов линейно зависима,
то и вся система линейно зависима.
Пусть дана система векторов и пусть для определенности первые 
векторов линейно зависимы. Тогда по определению существует ненулевой набор чисел 
такой, что имеет место равенство 
. Но тогда, очевидно, имеет место и равенство
. Для завершения доказательства осталось заметить, что набор чисел 
также ненулевой.
4. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.
Доказательство сразу получается методом от противного из доказанного свойства 3.