Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Линейная зависимость и независимость системы векторов.
В этом параграфе рассматривается произвольное векторное пространство (см. Замечание 5.1.) Говорят, что вектор является линейной комбинацией векторов системы с коэффициентами , если справедливо равенство Говорят еще, что вектор линейно выражается через векторы системы . Определение 8.2. Векторы системы называются линейно независимыми, если равенство выполняется тогда и только тогда, когда все равны нулю. Отметим, что набор чисел является нулевым тогда и только тогда, когда все числа этого набора равны нулю. В противном случае, набор чисел считается ненулевым. Определение 8.3. Векторы системы называются линейно зависимыми, если существует хотя бы один ненулевой набор такой, что имеет место равенство . Свойства линейной зависимости. 1. Система векторов, содержащая , линейно зависима. Действительно, справедливо равенство 2. При система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. В самом деле, пусть система векторов линейно зависима. Тогда по определению выполнено равенство , причем, например, . Перепишем это равенство в виде Обратно, пусть, например, является линейной комбинацией векторов . По определению это означает, что имеем равенство , которое равносильно равенству . Заметим, что набор чисел --- ненулевой, поэтому система векторов линейно зависима. 3. Если подсистема системы векторов линейно зависима, Пусть дана система векторов и пусть для определенности первые векторов линейно зависимы. Тогда по определению существует ненулевой набор чисел такой, что имеет место равенство . Но тогда, очевидно, имеет место и равенство 4. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима. Доказательство сразу получается методом от противного из доказанного свойства 3.
|