Свойства координат вектора.

ТЕОРЕМА 10.3. Пусть --- базис пространства и пусть в этом базисе векторы . Тогда для любых действительных чисел вектор

в базисе .

Доказательство. По определению координат вектора имеем:

Поэтому вектор

Используя свойства операций умножения вектора на число и сложения векторов, раскроем скобки и получим

Последнее равенство по определению означает, что

в базисе .

Из теоремы 10.3. получаем следующие следствия.

Следствие 10.1. Любая координата суммы (разности) векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

Следствие 10.2. При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Следствие 10.3. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.