Геометрический смысл линейной зависимости векторов.

В этом параграфе докажем теоремы, раскрывающие геометрический смысл линейной зависимости векторов пространства .

ТЕОРЕМА 9.1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство. Пусть --- линейно зависимы. Тогда по свойству 2. линейной зависимости хотя бы один из них является линейной комбинацией других, т.е. . Но по теореме 6.1. в этом случае векторы и коллинеарны.

Обратно, пусть векторы и коллинеарны. Тогда если хотя бы один из них нулевой, то они линейно зависимы по свойству 1., если же они ненулевые, то по теореме 6.1. .
Следовательно, они линейно зависимы по свойству 2.

Следствие 9.1. Любые два неколлинеарных вектора линейно независимы.

ТЕОРЕМА 9.2. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство. Пусть --- линейно зависимы по свойству 2., например, , а тогда по теореме 7.1. они компланарны.

Обратно, пусть --- компланарны. Возможны следующие случаи:

a). Если какие-нибудь два из них коллинеарны, например, и , то система векторов - линейно зависима по теореме 9.1. Но тогда по свойству 3. система векторов также линейно зависима.

b). Если любые два вектора неколлинеарны, тогда по теореме 7.1 , следовательно, они линейно зависимы по свойству 2.

Следствие 9.2. Любые три некомпланарных вектора линейно независимы.

ТЕОРЕМА 9.3. Любая система, состоящая более чем из трех векторов, линейно зависима.

Доказательство. С учетом свойства 2. достаточно рассмотреть систему, состоящую из четырех векторов . Возможны следующие случаи:

a). Если какие-нибудь три из них компланарны по теореме 9.2. они линейно зависимы, а тогда по свойству 3. --- линейно зависимы.

b). Если любые три вектора некомпланарны, тогда по теореме 7.2. , следовательно, они линейно зависимы по свойству 2.