Величины направленных отрезков на оси

Определение 12.1. Прямую линию с указанным на ней направлением будем называть осью.

Замечание 12.1. В данном определении молчаливо предполагается, что выбран некоторый масштабный отрезок для измерения длин.

Дадим определение величины направленного отрезка на оси.

Определение 12.2. Величиной направленного отрезка на оси называется число, равное длине отрезка , взятой со знаком плюс, если направление совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если направление противоположно направлению оси. Величины всех нулевых направленных отрезков на оси считаются равными нулю.

ТЕОРЕМА 12.1. (основное тождество для точек оси) Если --- три любые точки оси, то

Доказательство. Предположим, что точки попарно различны. Если точка лежит между точками и , то ; но в этом случае направленные отрезки , и имеют одинаковое направление, следовательно числа , и
имеют один знак, а потому .

Если точка лежит между и , то по доказанному

поскольку . Аналогично рассматриваются оставшиеся случаи.