Скалярное произведение векторов

Определение 15.1. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение будем обозначать или просто . По определению имеем

где --- угол между векторами и .

Перечислим основные свойства скалярного произведения, разделив их на свойства алгебраические и геометрические.

Алгебраические свойства.

1. Для любых векторов и

т.е. скалярное произведение векторов обладает свойством коммутативности.

Это свойство непосредственно следует из определения скалярного произведения.

2. Для любого числа и любых векторов и

т.е. скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

Доказательство. Обозначим через угол между вектором и . Если число и векторы ненулевые, то и мы получаем (см.рис. 1)

Если число и векторы ненулевые, то и мы получаем (см.рис. 2)

Наконец, если число или один из векторов нулевой, то доказываемое равенство очевидно.

3. Для любых векторов и

Доказательство. Обозначим через угол между вектором и , через угол между вектором и , через угол между вектором и .
По определению получаем

Учитывая формулу и свойство 2. проекций векторов, имеем

Геометрические свойства.

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е.

В частности, тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

Следует из определения скалярного произведения векторов и того факта, что .

5. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны или хотя бы один из них нулевой.

Доказательство. Действительно

или или или или .

6. Скалярное произведение двух ненулевых векторов положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда угол между ними острый (тупой).

Доказательство. Действительно знак скалярного произведения ненулевых векторов, согласно определению, совпадает со знаком косинуса угла между ними.