Геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе

Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис , в котором . Тогда . Умножим обе части этого
равенства скалярно сначала на вектор , потом на и . Получаем

Поскольку базис ортонормированный, то , а поэтому имеем равенства

С учетом формулы имеем

Из равенств получаем геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе:

координаты вектора в ортонормированном базисе равны ортогональным проекциям данного вектора на оси соответствующих базисных векторов.

Обозначим через . Тогда, используя формулу , равенства примут вид

Числа называются направляющими косинусами вектора в ОНБ .
Подставим в получаем

или

Таким образом, сумма квадратов направляющих косинусов любого ненулевого вектора равна единице.

Заметим, что если --- единичный, то его координаты в ОНБ равны направляющим косинусам этого вектора или, иначе, направляющие косинусы данного вектора равны координатам единичного вектора того же направления.