Скалярное произведение на плоскости в аффинных координатах.

Пусть на плоскости введен произвольный аффинный базис . Введем следующие обозначения для скалярных квадратов базисных векторов и самого скалярного произведения данных векторов:

Из свойств скалярного произведения следует, что . Совокупность чисел будем называть метрическими коэффициентами базиса .

Наряду с базисом рассмотрим еще базис .

Определение 20.1. Базисы и называются взаимными, если

В случае двумерного векторного подпространства (множества векторов параллельных некоторой плоскости) взаимные базисы допускают простую геометрическую интерпретацию. Другими словами, можно указать способ построения взаимного базиса к заданному. Действительно, пусть --- данный базис. Тогда вектор перпендикулярен вектору и образует острый угол с вектором , и, аналогично, перпендикулярен вектору и образует острый угол с вектором . Длины векторов определятся условием .

Точно так же определим метрические коэффициенты базиса .

Рассмотрим произвольный вектор плоскости и разложим его по векторам и . Получим

Определение 20.2. Коэффициенты называются контравариантными координатами, а --- ковариантными координатами вектора в базисе .

Рассмотрим теперь два вектора и , разложим их по векторам , а также по векторам :

Используя данные представления векторов и , вычислим их скалярное произведение четырьмя способами:

Мы видим, что удобнее всего находить скалярное произведение двух векторов, если один вектор задан ковариантными, а другой контравариантными координатами. Установим связь контравариантных координат с ковариантными координатами одного и того же вектора . Из соотношения находим

или

или короче

Аналогично находим

Установим связь между взаимными базисами. Для этого разложим базисные векторы по векторам :

Умножая скалярно обе части первого из этих соотношений на и , получим

и аналогично из второго соотношения

Мы приходим к формулам:

Подобным образом выводится соотношение

Найдем теперь формулы для вычисления метрических коэффициентов взаимного базиса, по известным метрическим коэффициентам исходного базиса. Для этого распишем формулы подробно. Получаем:

Умножая скалярно обе части каждого из этих соотношений на и , получим

Используя ранее введенные обозначения и определение взаимных базисов, приходим к следующей системе линейных уравнений относительно неизвестных

Решая эту систему приходим к следующим выражениям для метрических коэффициентов взаимного базиса с учетом, что и

где .