Двойное векторное произведение.

Определение 23.1. Вектор называется двойным векторным произведением.

Отметим, что векторы и компланарны. В самом деле это так, если векторы и коллинеарны. Если же векторы и не коллинеарны, то вектор им перпендикулярен, а вектор , перпендикулярный вектору , будет компланарен с векторами и . Значит, если векторы и неколлинеарны, то вектор можно разложить по векторам и .

Приводимая ниже формула и дает разложение этого вектора по векторам и :

Для доказательства этой формулы введем ортонормированный базис, взяв первый единичный вектор базиса коллинеарным вектору и расположив второй единичный вектор этого базиса перпендикулярно и так, чтобы векторы были компланарны.
Тогда

По формуле последовательно находим

С другой стороны, по формуле имеем

поэтому

Нетрудно проверить, что и в случае коллинеарности векторов и формула дает верный результат.

Отметим еще формулу

Действительно,