Площадь ориентированного параллелограмма. Вычисление площадей.

Определение 25.1. Пусть и два вектора, параллельные некоторой ориентированной плоскости (ориентация
определяется некоторым базисом ).
Площадью ориентированного параллелограмма , построенного на векторах и называется число , определяемое следующим образом:

1. , если базис положительно ориентирован;

2. , если базис отрицательно ориентирован;

3. , если векторы и коллинеарны.

Очевидно, что . Пусть будет единичный вектор, перпендикулярный нашей плоскости и направленный в ту сторону, с которой мы смотрим на нее; тогда . Если тройка векторов правая, то и параллелограмм ориентирован положительно, т.е . Если тройка векторов левая, то и параллелограмм ориентирован отрицательно, т.е . В том и другом случае

Из этого легко усмотреть следующие свойства ориентированной площади

1. .

2. .

3. .

4. .

Зададим теперь векторы и их координатами относительно базиса :

Тогда

В силу свойств ориентированной площади получаем

Учитывая, что и , получим

Обозначим через , т.е. площадь параллелограмма, построенного на базисных векторах. Тогда получаем, что

Пусть теперь на плоскости задана аффинная система координат .

ТЕОРЕМА 25.1. Площадь треугольника , заданного своими вершинами относительно аффинной системы координат на плоскости вычисляется по формуле

( --- знак модуля или абсолютной величины)

Доказательство. Из предыдущих рассуждений следует, что . Поскольку (см. формулу ), то с учетом получаем

ТЕОРЕМА 25.2. Для того чтобы три точки относительно аффинной системы координат , принадлежали одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

или

Замечание 25.1. Если заданы метрические коэффициенты базиса , входящего в систему координат , то площадь , как легко видеть, вычисляется по формуле , где . Поэтому формулу можно записать в виде