Ориентация плоскости и пространства.

Для простоты вычислений рассмотрим подробно как определяется ориентация плоскости. Пусть --- множество всех векторов, параллельных плоскости, т.е. двумерное подпространство пространства . Как известно, любые два неколлинеарных вектора из , взятые в определенном порядке, образуют базис . Поэтому в существует бесконечное множество базисов. Рассмотрим два из них: и . Разложим векторы базиса по векторам базиса :

Из координат векторов и можно составить матрицу второго порядка:

Координаты вектора образуют первый столбец этой матрицы, а координаты вектора --- второй столбец. Эту матрицу назовем матрицей перехода от базиса к базису .

Определение 21.1. Число называется определителем матрицы перехода от базиса к базису и обозначается так:

Так как векторы и линейно независимы, то из следствия о координатах коллинеарных векторов получаем, что . Рассмотрим некоторые свойства определителей матрицы перехода от одного базиса к другому.

1. Для любого базиса имеем .

В самом деле, поэтому

2. Для любых трех базисов справедливо равенство

Пусть . Подставив в правые части этих формул вместо и их разложения по формулам , будем иметь:

Отсюда получаем определитель матрицы перехода от базиса к базису :

поскольку определитель матрицы перехода от базиса к базису имеет вид:

3. Для любых базисов справедливо равенство

Действительно, если в равенстве положить и воспользоваться свойством 1., то получим требуемое.

Обозначим через множество всех базисов подпространства . Будем говорить, что базисы находятся в отношении (одинаково ориентированы), если , записываем так . Докажем, что отношение является отношением эквивалентности на множестве всех базисов
подпространства . Для этого необходимо проверить, что отношение удовлетворяет свойствам рефлексивности, симметричности и транзитивности.

1. рефлексивность. Для произвольного базиса по свойству 1 имеем:

2. симметричность. Пусть . Но из свойства 3 следует, что

3. транзитивность. Непосредственно следует из свойства 2.

Докажем, что фактор-множество состоит лишь из двух элементов. Для этого рассмотрим базисы и $\bar A=\{\vec a_2; \vec a_1\}$. Так как то классы эквивалентности и различны. Легко убедиться, что любой базис принадлежит либо классу , либо классу . В самом деле, по свойству 2
. Но , поэтому , отсюда либо , либо .

Каждый из элементов фактор-множества называется ориентацией векторного подпространства . Выделим одну из этих ориентаций, назовем ее положительной (а другую - отрицательной). Векторное подпространство, в котором выбрана положительная ориентация, называется ориентированным. Базисы положительной ориентации называют правыми базисами, а базисы отрицательной ориентации - левыми.

Аналогичным образом определяется ориентация векторного пространства . А именно, как известно, любые три некомпланарных вектора из , взятые в определенном порядке, образуют базис . Поэтому
в существует бесконечное множество базисов. Рассмотрим два из них: и . Разложим векторы базиса по векторам базиса :

Из координат векторов и можно составить матрицу третьего порядка:

Координаты вектора образуют первый столбец этой матрицы, координаты вектора --- второй столбец, а координаты вектора --- третий столбец. Эту матрицу назовем матрицей перехода от базиса к базису .
Определение 21.2. Число

называется определителем матрицы перехода от базиса к базису и обозначается так:

Так как векторы и линейно независимы, то можно показать, что .

Точно так же проверяются свойства определителей матриц перехода и доказывается, что существуют всего две различные ориентации векторного пространства . В дальнейшем будем считать, что векторное пространство ориентировано и положительную ориентацию определяет правая тройка векторов.

Определение 21.3. Тройка некомпланарных векторов, взятых в данном порядке, называется правой (левой), если кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден из конца третьего совершающимся против (по) часовой стрелке, при условии, что векторы приведены к общему началу.