Системы координат на плоскости и в пространстве. Основные задачи на метод координат

Определение 19.1. Пусть --- произвольная точка и --- произвольный базис в пространстве. Четверка называется аффинной системой координат в пространстве или аффинным репером. Четверка называется прямоугольной декартовой системой координат (сокращенно ПДСК).

Определение 19.2. Направленные прямые, проходящие через точку и параллельные координатным векторам, на которых положительные направления определяются этими векторами называются координатными осями.

Координатная ось параллельная первому базисному вектору называется осью абсцисс и обозначается , координатная ось параллельная второму базисному вектору называется осью ординат и обозначается , координатная ось параллельная третьему базисному вектору называется осью апликат и обозначается .

Плоскости, определяемые парами координатных осей называются координатными плоскостями.

Замечание 19.1. На плоскости также имеем две системы координат:

1. --- аффинная система координат (сокращенно А.С.К).

2. --- прямоугольная декартова система координат.

Определение 19.3. Пусть --- А.С.К, --- произвольная точка пространства. Вектор называется радиус-вектором точки .

Определение 19.4. Координаты радиус-вектора в базисе называются координатами точки в системе координат .

Кратко: в системе по определению означает выполнение равенства

.

Аналогично на плоскости: любая точка имеет пару координат в репере, которые есть координаты ее радиус-вектора в соответствующем базисе.

Нетрудно показать, что между точками пространства (плоскости) и упорядоченными тройками (парами) чисел существует взаимно однозначное соответствие. Решим несколько задач.

Задача 19.1. В аффинной системе координат даны координаты точек и . Найти координаты вектора .

Решение. По правилу вычитания векторов получаем . Откуда получаем, что каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора, т.е.

Задача 19.2. В прямоугольной декартовой системе координат даны координаты точек и . Найти расстояние между точками и .

Решение. Очевидно, что расстояние между данными точками и равно длине вектора . Поэтому по формуле имеем . С учетом формул и , окончательно получаем

Деление отрезка в данном отношении.

Определение 19.5. Пусть --- две точки, а --- некоторое действительное число . Говорят, что точка делит направленный отрезок в отношении , если

Из следует, что , то есть , причем:

если ;

если лежит вне отрезка .

Задача 19.3. В аффинной системе координат , точка делит направленный отрезок в отношении . Найти координаты точки .

Решение. Пусть тогда переписав в координатах, с учетом получим равенства:

или после очевидных преобразований

В частности, если --- середина отрезка, то есть , то формулы приобретают вид:

Задача 19.4. В аффинной системе координат даны координаты вершин треугольника . Найти координаты точки --- точки пересечения его медиан (центр тяжести треугольника).

Решение. Пусть --- середина отрезка . Тогда точка делит направленный отрезок в отношении . Последовательно, применяя формулы и
получим:

и
Окончательно имеем формулы нахождения координат центра тяжести треугольника по известным координатам его вершин: