Векторные подпространства

Определение 11.1. Пусть --- непустое множество векторов из векторного пространства . Множество называется векторным подпространством пространства , если выполнены следующие два условия:
1. Если и , то .

2. Если , то для любого вещественного числа .

По аналогии с пространством введем понятие базиса подпространства . Базисом векторного подпространства называется такая упорядоченная система линейно независимых векторов из , что любой вектор подпространства является линейной комбинацией данной системы векторов. Можно доказать, что все базисы подпространства состоят из одного и того же числа векторов. Это число называется размерностью векторного подпространства.

Пусть теперь имеем дело с пространством . Так как , а в любая система, состоящая более чем из трех векторов линейно зависима, то размерность любого подпространства пространства не больше, чем три.
Рассмотрим примеры векторных подпространств пространства и выясним их геометрический смысл.

1. Возьмем два неколлинеарных вектора и пространства и рассмотрим множество всех векторов вида:

,

где --- произвольные действительные числа.

Это множество, как нетрудно проверить, удовлетворяет обоим условиям определения векторного подпространства, поэтому является подпространством пространства . Оно называется подпространством натянутым на векторы и , и обозначается . Пусть --- плоскость, которой параллельны векторы и . Докажем, что --- множество тех и только тех векторов пространства , которые параллельны плоскости . Действительно, при любых значениях и векторы и линейно зависимы, поэтому они компланарны, то есть вектор
параллелен плоскости . Обратно, любой вектор , параллельный плоскости , компланарен с векторами и , поэтому является линейной комбинацией векторов и , то есть принадлежит множеству .

Векторы и образуют базис подпространства . В самом деле, эти векторы линейно независимы по следствию 9.1., и любой вектор подпространства является линейной комбинацией векторов и по построению этого множества. Таким образом, множество всех векторов,
параллельных некоторой плоскости, является двумерным векторным подпространством пространства .
Еще раз отметим, что базисом такого подпространства является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

2. Возьмем ненулевой вектор пространства и рассмотрим множество всех векторов вида:

,

где --- произвольное действительное число. Это множество является векторным подпространством пространства . Обозначим его через . Пусть --- прямая, которой параллелен вектор . Аналогично примеру 1 можно доказать, что --- множество всех тех и только тех векторов пространства , которые параллельны прямой .

Вектор является базисом подпространства , поэтому --- одномерное векторное подпространство. Таким образом, множество всех векторов, параллельных некоторой прямой, является одномерным векторным подпространством пространства .

3. Рассмотрим множество, состоящее только из одного нулевого вектора. Оно удовлетворяет обоим условиям определения векторного подпространства, поэтому является подпространством пространства . Оно называется нулевым или тривиальным векторным подпространством. Принято считать, что размерность этого подпространства равна нулю.