Умножение вектора на число.

Определение 5.1. Произведением вектора на действительное число называется вектор , который удовлетворяет двум условиям:

1. ;

2. , если и
, если .

Из условия 1. следует, что тогда и только тогда, когда или .

В дальнейшем вместо записи будем употреблять запись

Напомним определение гомотетии, известное из школьного курса геометрии.
Определение 5.2. Гомотетией с центром в точке и коэффициентом называется такое преобразование плоскости, при котором каждой точке ставится в соответствие точка такая, что выполнены следующие условия:

1. точки лежат на одной прямой;

2. ;

3. , если и
, если .

Предварительно докажем одну лемму.

ЛЕММА 5.1. Если при гомотетии с центром в точке и коэффициентом треугольник переходит
в треугольник , то .

Доказательство. По определению гомотетии имеем и , поэтому подобен с коэффициентом . Отсюда следует, что и . Если , то точки и лежат по одну сторону от прямой , поэтому , следовательно, . Если , то точки и лежат по разные стороны от прямой , поэтому , т.е. и в этом случае .