Свойства сложения векторов.

ТЕОРЕМА 3.1. Для произвольных векторов справедливы следующие равенства:

1. --- коммутативность сложения векторов.

2. --- ассоциативность сложения векторов.

3. .

4. .

Доказательство.

1. Пусть и --- произвольные векторы. От какой-нибудь точки отложим векторы , а затем от точки отложим вектор . Согласно построению , поэтому по лемме 2.1. получаем , т.е. .

По правилу треугольника и , следовательно, . Отсюда получаем, что .

2. Пусть и --- произвольные векторы. Возьмем какую-нибудь точку и отложим последовательно векторы
.
По правилу треугольника , поэтому . С другой стороны , поэтому . Отсюда получаем требуемое.

3. Применим правило к точкам получим
.

Значит, .

4. Применим правило к точкам получим
.
Значит, .

Замечание 3.2.

1. Суммой векторов и будем считать вектор . На основании доказанной теоремы , поэтому при записи суммы трех векторов можно опустить скобки и писать просто . Более того, можно доказать, что сумма трех векторов не зависит от порядка слагаемых. В самом деле, докажем, например, что
:

.

2. Аналогично можно определить сумму векторов, где . Пусть --- произвольные векторы. Их суммой называется вектор , и обозначается так: .
Из второго свойства можно получить правило многоугольника для нахождения суммы любого конечного числа векторов. Оно таково:
Суммой конечного числа векторов называется вектор, идущий из начала первого в конец последнего, при условии, что каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего.
Нетрудно убедиться в том, что сумма векторов не зависит от порядка слагаемых.

3. Для неколлинеарных векторов при их сложении можно пользоваться правилом параллелограмма:
Суммой двух неколлинеарных векторов является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, при условии, что начало искомого вектора совпадает с началом данных векторов.