ЛЕММА 2.2. (откладывание вектора от точки)

Для любого вектора и любой точки существует единственная точка такая, что .

Доказательство. Сначала докажем конструктивно, что такая точка существует. Пусть — представитель вектора . Построим середину отрезка точку . Далее строим точку , симметричную точке относительно точки . Точка искомая, так как середины отрезков и совпадают, то по лемме 1.1. , значит, . Осталось доказать единственность. Предположим, чтосуществует еще одна точка такая, что . Тогда получаем , следовательно, по лемме 2.1. . Поэтому точки и совпадают.

Определение 2.2. Говорят, что вектор параллелен прямой , если любой его представитель либо параллелен этой прямой, либо лежит на ней.

Определение 2.3. Векторы и называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой (мы пишем ).

Очевидно, что если , то они либо сонаправлены (если сонаправлены любые их представители), либо противоположно направлены (если противонаправлены любые их представители). Снова условимся считать, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору .

Определение 2.4. Пусть произвольный вектор и — его представитель, тогда вектор . Вектор

называется противоположным к вектору

и обозначается .

Очевидно, что противоположен вектору , т.е.

.