Рассмотрим dmbn и DNPC.

BN = NC (по определению средней линии); MN = NP (по построению); Ð MNВ = Ð PNC (вертикальные); Þ DMВN = DNPC (по 1 признаку) Þ Ð BMN = Ð NPC (внутренние накрест лежащие) Þ АВ II PC.

3. CP = MB (из равенства треугольников);

AM = MB (по определению средней линии); Þ CP = АM.

5. АM II PC; AM = PC Þ AMPC – параллелограмм Þ AC = MP; AC II MP.

6. MP = 2MN (по построению) Þ MN = 0, 5AC.

7. AC II MP; MNÌ MP; Þ MN II AC.

Определение 2. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Свойство средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция; AD II BC; MN – средняя линия.

Доказать: MN II AD; MN II BС;

Доказательство:

Рассмотрим DNВС и DNDE. СN = ND (по условию); Ð ВNС = Ð END (вертикальные);

Ð BСN = Ð NDE (внутренние накрест лежащие при BC II AD и секущей CD); DNВС и DNDE (по 2 признаку) Þ BN = NE; BC = DE. Рассмотрим DAВE. MN – средняя линия MN II AD; MN=0, 5AE.

AE = AD + DE = AD + BC Þ

2. Построение окружности, вписанной в треугольник и описанной около него.

Чтобы построить вписанную окружность, достаточно:

1. Построить биссектрисы любых двух углов треугольника и найти точку их пересечения – центр вписанной окружности.

2. Из полученной точки – центра вписанной окружности – опустить перпендикуляр на любую из сторон треугольника. Длина полученного отрезка – радиус вписанной окружности.