Билет № 22

4. Теорема косинусов. Следствие из теоремы.

Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Дано: Треугольник АВС.

Доказать:

1 .;

2. ;

3. .

Доказательство: Возможны три случая:

1) Угол С-острый;

2) угол С- тупой;

3) угол С –прямой.

Докажем первое равенство, два других доказываются аналогично.

;

;

Второй способ решения задачи. Координатный метод.

1. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке А так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси AX, а точка С имела положительную ординату. Решение записывают все учащиеся.
2. Запишем координаты точек: B(c; 0); C(bcosA; bsinA). 3. Найдём квадрат стороны BC: BC2 = a2 = (bcosA - c)2 + (bsinA)2 = = b2cos2A – 2bccosA + c2 + b2sin2A = = b2(cos2A + sin2A) + c2 – 2bccosA = = b2 + c2 – 2bccosA.

Вывод: Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов.

1 следствие.
Дано: ABC AC = b, AB = c, AH = bc __________________ Найти: a	Решение: Возможны 2 случая: а) A – острый, то cosA > 0, б) A – тупой, то cosA < 0, а) Если A – острый, тогда по теореме косинусов a2 = b2 + c2 – 2bccosA
В прямоугольном ACH: bc = bcosA. Так как A – острый, то cosA > 0, тогда a2 = b2 + c2 – 2bcc, то есть квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Случай, когда угол, лежащий против неизвестной стороны тупой, т.к. cosA < 0, то a2 = b2 + c2 + 2bccosA, т.е. квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон плюс удвоенное произведение одной из них на проекцию другой.
2 следствие.
Дано: ABCD – параллелограмм, AB = CD =a, BC = AD = b. __________________ Найти: d12 + d22.	Решение: ABC: d12 = a2 + b2 – 2abcosB. ABD: d22 = a2 + b2 – 2abcosA = a2 + b2 – 2abcos(180° - B) = a2 + b2 + 2abcosB. d12 + d22 = a2 + b2 – 2abcosB + a2 + b2 + 2abcosB = a2 + b2 + a2 + b2. d12 + d22 = 2 a2 + 2 b2.
Вывод: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
3 следствие.
Дано: ABC, AB = c, AC = b, BC = a. __________________ Найти: ma	Решение: Достроим ABC до параллелограмма ABA1C. AA12 + BC2 = 2b2 + 2c2. BC = a, 2ma= AA1. (2ma)2 + a2 = 2b2 + 2c2 4ma2 = 2(b2 + c2) – a2 ma2 = ma = mb = mc =
Вывод: В любом треугольнике со сторонами a, b и c длины медиан ma, mb, mc вычисляются по формулам: ma = , mb = , mc = .

5. Построение прямой, параллельной данной. Построение касательной, проходящей через данную точку, не лежащую на данной окружности.

6. Задача по теме «Подобие».