Методы решения СЛАУ

1. Матричный метод.

Пусть дана система уравнений (1) записанная в виде матричного уравнения

(2)

Если основная матрица невырожденная, т.е. , тогда для матрицы существует обратная матрица . Умножив матричное уравнение (2) слева на , получим:

Откуда

(3)

Следовательно, (3) – матричное решение уравнения (2).

Обратная матрица для матрицы определяется по формуле:

или

где – определитель матрицы ; – присоединенная матрица, составленная из алгебраических дополнений; – алгебраические дополнения элементов матрицы .

2. Метод Крамера.

Рассмотрим систему из уравнений с неизвестными:

(4)

Определитель -го порядка , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. В зависимости от определителя различают следующие случаи:

1) если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть определено по формулам Крамера

, , …, ,

где определитель -го порядка () получается из путем замены -го столбца свободными членами , , …, .

2) Если , но хотя бы один из (), то система несовместна.

3) Если и (), то система имеет бесчисленное множество решений.

3. Метод Гаусса.

Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод исключения неизвестных, называемый мето­дом Гаусса. Преобразование системы по методу Гаусса состоит из нескольких шагов, на каждом из которых производится исключение одно­го неизвестного. Для каждого такого шага необходимо указать ведущее неизвестное и ведущее уравнение, а также определить из каких уравнений исключается ведущее неизвестное.

В качестве первого ведущего элемента (ведущего элемента 1-го шага можно выбрать любой отличный от нуля коэффициент данной системы уравнений). Произведя такой выбор, исключим 1-ое ведущее неизвест­ное из всех уравнений системы, используя элементарные преобразова­ния:

1) прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответст­вующих частей другого уравнения той же системы, умноженных на некоторое число;

2) перестановка местами уравнений в системе;

3) удаление из системы уравнений вида 0=0.

Совокупность уравнений системы, кроме 1-го ведущего, назовём пер­вой подсистемой. Первое ведущее уравнение дальнейшим преобразова­ниям подвергать не будем. В качестве второго ведущего элемента (ве­дущего элемента 2-го шага) можем выбрать любой отличный от нуля коэффициент в 1-ой подсистеме. Произведя такой выбор, исключим 2-ое ведущее неизвестное из всех уравнений 1-ой подсистемы, кроме 2-го ведущего.

Совокупность уравнений системы, кроме 1-го и 2-го ведущих, назовём 2-ой подсистемой. Второе ведущее уравнение также как и 1-ое, даль­нейшим преобразованиям подвергать не будем.

В качестве третьего ведущего элемента (ведущего элемента 3-го шага) можно выбрать любой отличный от нуля коэффициент во 2-ой подсис­теме и т.д.

Если в процессе хотя бы одно уравнение вида (5) (), то исследование закончено – система несовместна. Если же поя­вится уравнение вида (6), то его просто удалим. Если в процессе не появятся уравнения (5) и (6), то данная система совместна.

Процесс её преобразования закончится тогда, когда на очередном шаге мы получим подсистему, состоящую только из 1-го уравнения, или под­система вообще не будет иметь вид (7).

На каждом шаге преобразования системы линейных, уравнений по ме­тоду Гаусса мы имеем большую свободу в выборе ведущего элемента (он не может только равняться нулю). Но как бы мы эти элементы не выбирали, число уравнений в окончательно полученной системе будет одним и тем же, оно равно максимальному числу независимых уравне­ний в исходной системе это число и является рангом системы ().

Приведение системы к виду (7) называется прямым ходом, отыскание решения системы (7) – обратным ходом метода Гаусса.

(7)

или

В случае система имеет единственное решение, которое легко най­ти. Если же , то из системы (7) находим значения неизвестных , , …, через неизвестные , …, .

Придавая неизвестным , …, произвольные значения будем получать решение системы.

При этом неизвестные , …, называют свободными, а неизвестные , , …, – базисными. Число базисных неизвестных равно рангу системы , а число свободных неизвестных ( – число неизвестных).

Базисные неизвестные единственным образом выражаются через свободные неизвестные.

Если свободным неизвестным приданы конкретные числовые значения и через них выражены базисные неизвестные, то полученное решение называется частным решением.

Если свободные неизвестные выражены через параметры, то получается решение, которое называется общим решением.

Все бесконечное множество решений системы можно получить, придавая свободным неизвестным любые числовые значения и находя соответствующие значения базисных неизвестных.

Если всем свободным неизвестным приданы нулевые значения, то полученное решение называется базисным.

Метод Гаусса – матричный способ.

Оформляют решение по методу Гаусса так: записывают расширенную матрицу системы. Затем над строками производят элементарные преоб­разования, приводя данную матрицу к диагональному виду.