Пример 2. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Для исходной системы уравнений запишем расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

.

Проведенные элементарные преобразования:

1) первую строку оставим без изменения;

2) вместо второй строки запишем сумму второй строкой и первой, умноженной на (-2);

3) вместо третьей строки запишем сумму третьей строкой и первой, умноженной на (-3);

4) четвертую строку заменим суммой четвертой и первой, умноженной на (-1);

5) пятую строку заменим суммой пятой строки и первой, умноженной на (-2).

В результате преобразований получили матрицу эквивалентную данной. Оставив без изменения первые две строки этой матрицы, следуя методу Гаусса, который также называют и методом последовательного исключения неизвестных, с помощью третьей строки приведем к нулю коэффициенты при в четвертой и пятой строках. После деления всех элементов второй строки на 5 и деления всех элементов третьей строки на 2 получили матрицу ступенчатого вида, каждая из двух последних строк которой соответствует уравнению . Это уравнение удовлетворяется любым набором чисел , , , и и его следует удалить из системы.

Для последней матрицы составляем соответствующую систему:

В качестве базисных (главных) переменных можно выбрать , и , соответствующие столбцам минора третьего порядка , тогда и – свободные переменные. Придавая свободным переменным произвольные значения , а , из последнего уравнения системы получим: . Подставив выражения , и во второе уравнение той же системы, получим . Теперь из первого уравнения можно получить . Окончательно решение системы представляется в виде: