Критерий t-стьюдента для зависимых выборок

Метод позволяет проверить гипотезу о том, что средние значения двух ге­неральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые зависимые вы­борки, отличаются друг от друга. Допущение зависимости чаще всего значит, что признак измерен на одной и той же выборке дважды, например, до воз­действия и после него. В общем же случае каждому представителю одной вы­борки поставлен в соответствие представитель из другой выборки (они по­парно объединены) так, что два ряда данных положительно коррелируют друг с другом. Более слабые виды зависимости выборок: выборка 1 — мужья, вы­борка 2 — их жены; выборка 1 — годовалые дети, выборка 2 составлена из близнецов детей выборки 1, и т, д.

Проверяемая статистическая гипотеза, как и в предыдущем случае, Н₀: М₁ = М₂ . При ее отклонении принимается альтернативная гипотеза о том, что М₁ больше (меньше) M₂.

Исходные предположения для статистической проверки:

- каждому представителю одной выборки (из одной генеральной совокупно­сти) поставлен в соответствие представитель другой выборки (из другой генеральной совокупности);

- данные двух выборок положительно коррелируют;

- распределение изучаемого признака и в той и другой выборке соответству­ет нормальному закону.

Структура исходных данных: имеется по два значения изучаемого признака для каждого объекта (для каждой пары).

ПРИМЕР

При сравнении значений признака X до воздействия (X₁ ) и после воздействия (Х₂)

на выборку численностью N:

Ограничения: распределения признака и в той, и в другой выборке суще­ственно не отличаются от нормального; данные двух измерений, соответству­ющих той и другой выборке, положительно коррелируют.

Альтернативы: критерий Т-Вилкоксона, если распределение хотя бы для одной выборки существенно отличается от нормального; критерий t-Стьюдента для независимых выборок — если данные для двух выборок не корре­лируют положительно.

Формула для эмпирического значения критерия t-Стьюдента отражает тот факт, что единицей анализа различий является разность (сдвиг) значений при­знака для каждой пары наблюдений. Соответственно, для каждой из N пар значений признака сначала вычисляется разность d_i = х_1i ~ х_2i

где М_d — средняя разность значений; σ _d— стандартное отклонение разностей.

ПРИМЕР 11.4 ________________________________________

Предположим, в ходе проверки эффективности тренинга каждому из 8 членов груп­пы задавался вопрос «Насколько часто твое мнение совпадаете мнением группы?» — дважды, до и после тренинга. Для ответов использовалась 10-балльная шкала: 1 — никогда,..., 5 — в половине случаев,..., 10 — всегда. Проверялась гипотеза о том, что в результате тренинга самооценка конформизма участников возрастет (α = 0, 05).

Составим таблицу для промежуточных вычислений:

Ш а г 1. Вычисляем эмпирическое значение критерия по формуле 11.5: средняя раз­ность М_d= -0, 75; стандартное отклонение σ _d= 0, 886; t_э = 2, 39; df= 7.

Шаг 2. Определяем по таблице критических значений критерия t-Стьюдента (при­ложение 2) р-уровень значимости. Для df=7 эмпирическое значение находится меж­ду критическими для р= 0, 05 и p = 0, 01. Следовательно, р < 0, 05.

Ш а г 3. Принимаем статистическое решение и формулируем вывод. Статистичес­кая гипотеза о равенстве средних значений отклоняется. Вывод: показатель само­оценки конформизма участников после тренинга увеличился статистически досто­верно (р< 0, 05).

Замечание. В отношении зависимых выборок вполне допустимо при­менение критерия t-Стьюдента для независимых выборок (но не наоборот!). Это целесообразно, если корреляция между двумя измерениями отрицатель­ная. Если же корреляция положительная, то такая замена приведет к недо­оценке достоверности различий.

В примере 11.4 корреляция между Х₁ и X₂ r=0, 9. Если в отношении данных приме­нить формулу 13.3, то эмпирическое значение критерия составит t_э=1, 085. Для df= 14 это значение значительно меньше критического для р = 0, 1. Следовательно, статистическая гипотеза о равенстве средних значений не отклоняется.