Независимых выборок

Критерий Н Краскала-Уоллеса (Kruskal-Wallis H) является непараметричес­ким аналогом однофакторного дисперсионного анализа (ANOVA) для неза­висимых выборок, поэтому другое его название — Однофакторный дисперси­онный анализ Краскала-Уоллеса (Kruskal-Wallis опе-dау апа1уsis оf vаriапсе). Он позволяет проверять гипотезы о различии более двух выборок по уровню вы­раженности изучаемого признака.

H-Краскала-Уоллеса по идее сходен с критерием U-Манна-Уитни. Как и последний, он оценивает степень пересечения (совпадения) нескольких ря­дов значений измеренного признака. Чем меньше совпадений, тем больше различаются ряды, соответствующие сравниваемым выборкам. Основная идея критерия H-Краскала-Уоллеса основана на представлении всех значений срав­ниваемых выборок в виде одной обшей последовательности упорядоченных (ранжированных) значений, с последующим вычислением среднего ранга для каждой из выборок. Если выполняется статистическая гипотеза об отсутствии различий, то можно ожидать, что все средние ранги примерно равны и близ­ки к общему среднему рангу.

Эмпирическое значение критерия H-Краскала-Уоллеса вычисляется пос­ле ранжирования всех значений сравниваемых выборок по формуле:

где N — суммарная численность всех выборок; k — количество сравниваемых выборок; R_i — сумма рангов для выборки i; n_i- — численность выборки i. Чем сильнее различаются выборки, тем больше вычисленное значение Н и тем меньше p-уровень значимости.

При расчетах «вручную» для определения p-уровня пользуются таблицами критических значений. Если объем каждой выборки больше 5 и количество выборок больше трех, то эмпирическое значение критерия сравнивается с χ ² (приложение 4) для df= k — 1 (k — число выборок). Если сравниваются 3 вы­борки и объем каждой выборки меньше 5, то пользуются таблицей критичес­ких значений H-Краскала-Уоллеса (приложение 12).

При отклонении нулевой статистической гипотезы об отсутствии разли­чий принимается альтернативная гипотеза о статистически достоверных различиях выборок по изучаемому признаку — без конкретизации направле­ния различий. Для утверждений о том, что уровень выраженности признака в какой-то из сравниваемых выборок выше или ниже, необходимо парное соотнесе­ние выборок по критерию U-Манна-Уитни.

ПРИМЕР 12.3 ________________________________________

Проверим гипотезу о различии выборок 1, 2 и 3 на уровне α = 0, 05:

Шаг 1. Значения выборок объединяются в один ряд, упорядоченный в порядке возрастания или убывания. Обозначается принадлежность каждого значения к той или иной выборке (строки 1 и 2).

Щ а г 2. Значения выборок ранжируются и выписываются отдельно ранги для каж­дой выборки (строки 3-6).

Щ а г 3. Вычисляются суммы рангов для каждой выборки и проверяется правиль­ность расчетов. R₁ = 46; R₂ =49; R₃ = 41. Общая сумма рангов должна быть равна N(N+ 1)/2= 16x17/2= 136. Равенство соблюдено.

Ш а г 4. Вычисляется H по формуле 12.2

Ш а г 5. Определяется р-уровень значимости. Хотя сравниваются 3 выборки, но объем одной из них больше 5, поэтому вычисленное H сравнивается с табличным значением χ ² (приложение 4) для числа степеней свободы df= 3-1 = 2. Эмпириче­ское значение Н находится между критическими для р = 0, 05 и р - 0, 01, Следова­тельно, р< 0, 05.

Ш а г 6. Принимается статистическое решение и формулируется содержательный вывод. На уровне а = 0.05 гипотеза Н₍₁ отклоняется. Содержательный вывод: срав­ниваемые выборки различаются статистически достоверно по уровню выраженно­сти признака (р < 0, 05).

Отметим, что на основании такой проверки мы не можем сделать конкретный вы­вод о направлении различий и о том, в какой выборке признак принимает большие или меньшие значения, Для этого необходимо парное соотнесение выборок по со­ответствующему критерию (U-Манна-Уитни).

Обработка на компьютере: