Дифференцирование и интегрирование степенной функции

Теорема 1: Если х> 0 и ∝ - любое действительное число, то производная функции = вычисляется по формуле

= = ∝

Теорема 2: Если ∝ ≠ -1 общий вид первообразной степенной функции у = определяется по формуле

.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Корень –ой степени и его свойства

Пример 1. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение:

а) = и = - , так как = и = .

Ответ: и -

б) = 3, так как = 27.

Ответ: 3

в) = - , так как = - .

Ответ: -

г) = 4, так как = 64.

Ответ: 4

Пример 2. Найдите значение выражения:

а) ; б) · в) г) д) е)

ж) ·

Решение:

а) = · = 2 · 5 = 10

Ответ: 10

б) · = = = 2

Ответ: 2

в) = = =

Ответ:

г) = = 2

Ответ: 2

д) = ) ³ = 2 ³ = 8

Ответ: 8

е) =

Ответ: 3

ж) · = = = = = 4

Ответ: 4

Пример 3. Вынесите множитель из-под знака корня:

а) б) в)

Решение:

а) =

Ответ:

б) = =

Ответ:

в) = = -2

Ответ: -2

Пример 4. Внесите под знак корня:

а) б) в)

Решение:

а) , так как корень третьей степени, внесем число 4 под корень с показателем 3.

= =

Ответ:

б) , так как - неотрицательное число и корень четвертой степени, под знак корня внесем число с показателем 4.

=

Ответ:

в) , так как корень восьмой степени, внесем число под корень с показателем 8.

= =

Ответ:

Пример 5. Освободите от иррациональности знаменатель дроби:

а) б) в)

Решение: необходимо умножить числитель и знаменатель на сопряженную дробь

а) = = = =

Ответ:

б) = = = =

Ответ:

в) = = = = -

Ответ: