Уравнения, решаемые приведением к одному основанию левой и правой частей, применяя свойства степеней

Пример 1. Решить уравнение:

а) .

Проверка: ; ; = ;

Ответ: х = .

б) .

Решение: ; ; ;

; ; ;

(х+5)(х–3)=(х+25)(х–7); х²+5х–3х–15=х²+25х–7х–175; 16х=160; х=10.

Проверка: х=10. ; ; ;

; = – верно.

Ответ: х=10;

в) .

Решение: ; ; ; ; ; x=1.

Проверка: ; ; = – верно.

Ответ: х=1;

г) .

Решение: ; ½ 3х–4½ =4х–4, для х ³ имеем ½ 3х–4½ =3х–4 и тогда уравнение запишем в виде:
3х–4=4х–4; –х=0; х=0; для х < имеем ½ 3х–4½ =4–3х и уравнение запишем в виде

4–3х=4х–4; –7х=–8; х= .

Проверка: х=0. ; ; – не верно.

х= . ; ; – верно.

Ответ: х= .

Уравнения вида P(a^x)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени, или уравнения,

Сводящиеся к ним

Пример 2. Решить уравнение:

а) .

Решение: .

Обозначаем: = y; 3y²–10y+3=0; D=25–9=16; y₁=3; y₂= .

Получаем: 1. =3; ; ; х₁=2.

2. = ; ; ; х₂=–2.

Проверка: 1. ; 3× 9–10× 3+3=0 – верно.

3. ; ; – верно.

Ответ: х=2; х=–2.

б) .

Решение: . Пусть 4^х=y, y²+12y–64=0,

y_{1, 2}=–6± =–6±10,

y₁=4; y₂=–16 (п.к.), т.к. 4^х> 0, 4^х=4 Þ х=1.

Проверка: ; 16+3× 16–64=0; 16+48–64=0 – верно.

Ответ: х=1;

в) .

Решение: , .

Пусть , , ,

,

; ; ; ; ; ; x=20.

Проверка: x=20. , – верно.

Ответ: х=20.

г) .

Решение: . Пусть ; тогда уравнение запишем в виде ; y_{1, 2}=2 ; y₁=3 и y₂=1; или ; x²–1=1; x²–1=0; x= ; x= ±1.

Проверка: x= ; ; 9–12+3=0 – верно;

х= ±1; ; 1–4+3=0 – верно.

Ответ: x= ; х=±1.